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Theorem torsubg 15146
Description: The set of all elements of finite order forms a subgroup of any abelian group, called the torsion subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
torsubg.1  |-  O  =  ( od `  G
)
Assertion
Ref Expression
torsubg  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G
) )

Proof of Theorem torsubg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 5033 . . . 4  |-  ( `' O " NN ) 
C_  dom  O
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
3 torsubg.1 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
42, 3odf 14852 . . . . 5  |-  O :
( Base `  G ) --> NN0
54fdmi 5394 . . . 4  |-  dom  O  =  ( Base `  G
)
61, 5sseqtri 3210 . . 3  |-  ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
)
76a1i 10 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
) )
8 ablgrp 15094 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
9 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
102, 9grpidcl 14510 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
) )
118, 10syl 15 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( 0g
`  G )  e.  ( Base `  G
) )
123, 9od1 14872 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( O `  ( 0g `  G ) )  =  1 )
138, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( O `
 ( 0g `  G ) )  =  1 )
14 1nn 9757 . . . . 5  |-  1  e.  NN
1513, 14syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( O `
 ( 0g `  G ) )  e.  NN )
16 ffn 5389 . . . . . 6  |-  ( O : ( Base `  G
) --> NN0  ->  O  Fn  ( Base `  G )
)
174, 16ax-mp 8 . . . . 5  |-  O  Fn  ( Base `  G )
18 elpreima 5645 . . . . 5  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( ( 0g `  G )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( 0g
`  G )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( 0g `  G
) )  e.  NN ) ) )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( 0g `  G )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( 0g `  G
) )  e.  NN ) )
2011, 15, 19sylanbrc 645 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( 0g
`  G )  e.  ( `' O " NN ) )
21 ne0i 3461 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  ( `' O " NN )  ->  ( `' O " NN )  =/=  (/) )
2220, 21syl 15 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN )  =/=  (/) )
238ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  G  e.  Grp )
246sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( `' O " NN )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
2524ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  x  e.  ( Base `  G
) )
266sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( `' O " NN )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
2726adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  y  e.  ( Base `  G
) )
28 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
292, 28grpcl 14495 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
3023, 25, 27, 29syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
31 0nnn 9777 . . . . . . . . 9  |-  -.  0  e.  NN
322, 3odcl 14851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
3325, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  NN0 )
3433nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  ZZ )
352, 3odcl 14851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( Base `  G
)  ->  ( O `  y )  e.  NN0 )
3627, 35syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  y )  e.  NN0 )
3736nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  y )  e.  ZZ )
3834, 37gcdcld 12697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) )  e. 
NN0 )
3938nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) )  e.  CC )
4039mul02d 9010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
0  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y ) ) )  =  0 )
4140breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  <->  0  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
) ) )
4234, 37zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  e.  ZZ )
43 0dvds 12549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  =  0 ) )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
0  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  =  0 ) )
4541, 44bitrd 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y
) )  =  0 ) )
46 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( x  e.  ( `' O " NN )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  x )  e.  NN ) ) )
4717, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( `' O " NN )  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  x )  e.  NN ) )
4847simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( `' O " NN )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
4948ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
50 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( y  e.  ( `' O " NN )  <->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  y )  e.  NN ) ) )
5117, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' O " NN )  <->  ( y  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  y )  e.  NN ) )
5251simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( `' O " NN )  ->  ( O `  y )  e.  NN )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  y )  e.  NN )
5449, 53nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  e.  NN )
55 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) )  =  0  ->  (
( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
)  e.  NN  <->  0  e.  NN ) )
5654, 55syl5ibcom 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
)  =  0  -> 
0  e.  NN ) )
5745, 56sylbid 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  ->  0  e.  NN ) )
5831, 57mtoi 169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  -.  ( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) ) )
59 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  G  e.  Abel )
603, 2, 28odadd1 15140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( Base `  G
)  /\  y  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y )
) )  ||  (
( O `  x
)  x.  ( O `
 y ) ) )
6159, 25, 27, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  x.  ( ( O `
 x )  gcd  ( O `  y
) ) )  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
) )
62 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  0  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  x.  ( ( O `
 x )  gcd  ( O `  y
) ) )  =  ( 0  x.  (
( O `  x
)  gcd  ( O `  y ) ) ) )
6362breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  0  ->  (
( ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) )  <->  ( 0  x.  ( ( O `
 x )  gcd  ( O `  y
) ) )  ||  ( ( O `  x )  x.  ( O `  y )
) ) )
6461, 63syl5ibcom 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  =  0  ->  (
0  x.  ( ( O `  x )  gcd  ( O `  y ) ) ) 
||  ( ( O `
 x )  x.  ( O `  y
) ) ) )
6558, 64mtod 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  -.  ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  =  0 )
662, 3odcl 14851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN0 )
6730, 66syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  e. 
NN0 )
68 elnn0 9967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O `  ( x ( +g  `  G
) y ) )  e.  NN0  <->  ( ( O `
 ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN  \/  ( O `
 ( x ( +g  `  G ) y ) )  =  0 ) )
6967, 68sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  e.  NN  \/  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  =  0 ) )
7069ord 366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( -.  ( O `  (
x ( +g  `  G
) y ) )  e.  NN  ->  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  =  0 ) )
7165, 70mt3d 117 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( x
( +g  `  G ) y ) )  e.  NN )
72 elpreima 5645 . . . . . . 7  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN ) ) )
7317, 72ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( `' O " NN )  <->  ( ( x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( x ( +g  `  G ) y ) )  e.  NN ) )
7430, 71, 73sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  /\  y  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( `' O " NN ) )
7574ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN ) )
76 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
772, 76grpinvcl 14527 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( Base `  G ) )
788, 24, 77syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( Base `  G ) )
793, 76, 2odinv 14874 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( O `  (
( inv g `  G ) `  x
) )  =  ( O `  x ) )
808, 24, 79syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( ( inv g `  G ) `
 x ) )  =  ( O `  x ) )
8148adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  x )  e.  NN )
8280, 81eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( O `  ( ( inv g `  G ) `
 x ) )  e.  NN )
83 elpreima 5645 . . . . . 6  |-  ( O  Fn  ( Base `  G
)  ->  ( (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN )  <-> 
( ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( ( inv g `  G ) `  x
) )  e.  NN ) ) )
8417, 83ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN )  <-> 
( ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( Base `  G
)  /\  ( O `  ( ( inv g `  G ) `  x
) )  e.  NN ) )
8578, 82, 84sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN ) )
8675, 85jca 518 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( `' O " NN ) )  ->  ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  (
( inv g `  G ) `  x
)  e.  ( `' O " NN ) ) )
8786ralrimiva 2626 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  A. x  e.  ( `' O " NN ) ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( `' O " NN ) ) )
882, 28, 76issubg2 14636 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( `' O " NN )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( `' O " NN ) ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( `' O " NN ) ) ) ) )
898, 88syl 15 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( ( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( ( `' O " NN ) 
C_  ( Base `  G
)  /\  ( `' O " NN )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( `' O " NN ) ( A. y  e.  ( `' O " NN ) ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( `' O " NN )  /\  ( ( inv g `  G ) `
 x )  e.  ( `' O " NN ) ) ) ) )
907, 22, 87, 89mpbir3and 1135 1  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( `' O " NN )  e.  (SubGrp `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363  SubGrpcsubg 14615   odcod 14840   Abelcabel 15090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-od 14844  df-cmn 15091  df-abl 15092
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