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Theorem tosso 14420
Description: Write the totally ordered set structure predicate in terms of the proper class strict order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tosso.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tosso.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tosso.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
tosso  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )

Proof of Theorem tosso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tosso.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 tosso.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 tosso.s . . . . . . . . 9  |-  .<  =  ( lt `  K )
41, 2, 3pleval2 14377 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
543expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
61, 2, 3pleval2 14377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  y  =  x ) ) )
7 equcom 1688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
87orbi2i 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  .<  x  \/  y  =  x )  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y )
)
96, 8syl6bb 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
1093com23 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
11103expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
125, 11orbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) ) )
13 df-3or 937 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  y  .<  x )
)
14 or32 514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
15 orordir 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y )  <->  ( ( x 
.<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1614, 15bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1713, 16bitri 241 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1812, 17syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
19182ralbidva 2706 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2019pm5.32i 619 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
211, 2, 3pospo 14385 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )
2221anbi1d 686 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
2320, 22syl5bb 249 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
241, 2istos 14419 . 2  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
25 df-so 4464 . . . 4  |-  (  .<  Or  B  <->  (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
) )
2625anbi1i 677 . . 3  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )
27 an32 774 . . 3  |-  ( ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <-> 
( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2826, 27bitri 241 . 2  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2923, 24, 283bitr4g 280 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    _I cid 4453    Po wpo 4461    Or wor 4462    |` cres 4839   ` cfv 5413   Basecbs 13424   lecple 13491   Posetcpo 14352   ltcplt 14353  Tosetctos 14417
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16500  opsrso  16502  toslub  24144  tosglb  24145  ofldsqr  24193  retos  24231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-res 4849  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-poset 14358  df-plt 14370  df-toset 14418
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