MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tosso Unicode version

Theorem tosso 14142
Description: Write the totally ordered set structure predicate in terms of the proper class strict order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tosso.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
tosso.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
tosso.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
tosso  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )

Proof of Theorem tosso
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tosso.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 tosso.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 tosso.s . . . . . . . . 9  |-  .<  =  ( lt `  K )
41, 2, 3pleval2 14099 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
543expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  .<_  y  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y ) ) )
61, 2, 3pleval2 14099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  y  =  x ) ) )
7 equcom 1647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
87orbi2i 505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  .<  x  \/  y  =  x )  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y )
)
96, 8syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  y  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
1093com23 1157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
11103expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( y  .<_  x  <->  ( y  .<  x  \/  x  =  y ) ) )
125, 11orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) ) )
13 df-3or 935 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  y  .<  x )
)
14 or32 513 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y ) )
15 orordir 517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  y  .<  x )  \/  x  =  y )  <->  ( ( x 
.<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1614, 15bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .<  y  \/  x  =  y
)  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1713, 16bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )  <->  ( (
x  .<  y  \/  x  =  y )  \/  ( y  .<  x  \/  x  =  y
) ) )
1812, 17syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
19182ralbidva 2583 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2019pm5.32i 618 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<_  y  \/  y  .<_  x ) )  <->  ( K  e.  Poset  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
211, 2, 3pospo 14107 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e.  Poset  <->  (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  ) ) )
2221anbi1d 685 . . 3  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
2320, 22syl5bb 248 . 2  |-  ( K  e.  V  ->  (
( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
)  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) ) )
241, 2istos 14141 . 2  |-  ( K  e. Toset 
<->  ( K  e.  Poset  /\ 
A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<_  y  \/  y  .<_  x )
) )
25 df-so 4315 . . . 4  |-  (  .<  Or  B  <->  (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
) )
2625anbi1i 676 . . 3  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) )  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) )
27 an32 773 . . 3  |-  ( ( (  .<  Po  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x )
)  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <-> 
( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2826, 27bitri 240 . 2  |-  ( ( 
.<  Or  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  <->  ( (  .<  Po  B  /\  (  _I  |`  B )  C_  .<_  )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  .<  y  \/  x  =  y  \/  y  .<  x ) ) )
2923, 24, 283bitr4g 279 1  |-  ( K  e.  V  ->  ( K  e. Toset  <->  (  .<  Or  B  /\  (  _I  |`  B ) 
C_  .<_  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    _I cid 4304    Po wpo 4312    Or wor 4313    |` cres 4691   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   ltcplt 14075  Tosetctos 14139
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  16226  opsrso  16228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-poset 14080  df-plt 14092  df-toset 14140
  Copyright terms: Public domain W3C validator