Theorem tostos 15376

Description: Any subset of a totally ordered set is totally ordered.

Assertion

Ref	Expression
tostos	|- (R e. TosetRel -> (R i^i (A X. A)) e. TosetRel )

Proof of Theorem tostos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2141	. . . . 5 |- U.U.R = U.U.R
2	1	istoset 11041	. . . 4 |- (R e. TosetRel -> (R e. TosetRel <-> (R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx))))
3	2	biimpd 231	. . 3 |- (R e. TosetRel -> (R e. TosetRel -> (R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx))))
4		pospos 15374	. . . . . . 7 |- (R e. PosetRel -> (R i^i (A X. A)) e. PosetRel)
5		uuniin 15117	. . . . . . . . . 10 |- U.U.(R i^i (A X. A)) C_ (U.U.R i^i U.U.(A X. A))
6		ssel2 2847	. . . . . . . . . . 11 |- ((U.U.(R i^i (A X. A)) C_ (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) /\ x e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> x e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)))
7		elin 2999	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) <-> (x e. U.U.R /\ x e. U.U.(A X. A)))
8		ax-17 1605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. U.U.R -> A.y x e. U.U.R)
9		hbra1 2398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> A.yA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx))
10	8, 9	hbim 1643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y(x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)))
11		ax-17 1605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. U.U.(A X. A) -> A.y x e. U.U.(A X. A))
12	8, 10, 11	hb3an 1648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> A.y(x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)))
13	5	sseli 2848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)))
14		elin 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) <-> (y e. U.U.R /\ y e. U.U.(A X. A)))
15	14	simplbi 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) -> y e. U.U.R)
16	13, 15	syl 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> y e. U.U.R)
17		pm2.27 64	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x e. U.U.R -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)))
18		ra4 2406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx)))
19	18	a1d 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> (x e. U.U.(A X. A) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx))))
20	17, 19	syl6 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. U.U.R -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (x e. U.U.(A X. A) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx)))))
21	20	3imp 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> (y e. U.U.R -> (xRy \/ yRx)))
22	16, 21	syl5 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> (xRy \/ yRx)))
23	22	imp 393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> (xRy \/ yRx))
24		fldsqcp2 15088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- U.U.(A X. A) = A
25	24	eleq2i 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (x e. U.U.(A X. A) <-> x e. A)
26	25	biimpi 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (x e. U.U.(A X. A) -> x e. A)
27	26	3ad2ant3 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> x e. A)
28	24	eleq2i 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- (y e. U.U.(A X. A) <-> y e. A)
29	28	biimpi 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (y e. U.U.(A X. A) -> y e. A)
30	29	adantl 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((y e. U.U.R /\ y e. U.U.(A X. A)) -> y e. A)
31	14, 30	sylbi 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (y e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) -> y e. A)
32	13, 31	syl 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> y e. A)
33	27, 32	anim12i 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> (x e. A /\ y e. A))
34		visset 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
35	34	brxp 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x(A X. A)y <-> (x e. A /\ y e. A))
36	33, 35	sylibr 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> x(A X. A)y)
37	23, 36	jca 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((xRy \/ yRx) /\ x(A X. A)y))
38		andir 945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((xRy \/ yRx) /\ x(A X. A)y) <-> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ x(A X. A)y)))
39	37, 38	sylib 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ x(A X. A)y)))
40		visset 2541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
41		sqpeq 15093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- Er (A X. A)
42	40, 34, 41	ersymb 5491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x(A X. A)y <-> y(A X. A)x)
43	42	anbi2i 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((yRx /\ x(A X. A)y) <-> (yRx /\ y(A X. A)x))
44	43	orbi2i 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ x(A X. A)y)) <-> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ y(A X. A)x)))
45	39, 44	sylib 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ y(A X. A)x)))
46		brin 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x(R i^i (A X. A))y <-> (xRy /\ x(A X. A)y))
47		brin 3559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y(R i^i (A X. A))x <-> (yRx /\ y(A X. A)x))
48	46, 47	orbi12i 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x) <-> ((xRy /\ x(A X. A)y) \/ (yRx /\ y(A X. A)x)))
49	45, 48	sylibr 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) /\ y e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> (x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))
50	49	ex 398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> (y e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> (x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
51	12, 50	r19.21ai 2424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. U.U.R /\ (x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ x e. U.U.(A X. A)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))
52	51	3exp 1316	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. U.U.R -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (x e. U.U.(A X. A) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
53	52	com23 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. U.U.R -> (x e. U.U.(A X. A) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
54	53	imp 393	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. U.U.R /\ x e. U.U.(A X. A)) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
55	7, 54	sylbi 225	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
56	6, 55	syl 13	. . . . . . . . . 10 |- ((U.U.(R i^i (A X. A)) C_ (U.U.R i^i U.U.(A X. A)) /\ x e. U.U.(R i^i (A X. A))) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
57	5, 56	mpan 677	. . . . . . . . 9 |- (x e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
58	57	com12 26	. . . . . . . 8 |- ((x e. U.U.R -> A.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (x e. U.U.(R i^i (A X. A)) -> A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
59	58	ralimi2 2415	. . . . . . 7 |- (A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx) -> A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))
60	4, 59	anim12i 536	. . . . . 6 |- ((R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> ((R i^i (A X. A)) e. PosetRel /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
61	60	adantr 447	. . . . 5 |- (((R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. TosetRel ) -> ((R i^i (A X. A)) e. PosetRel /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x)))
62		inex1g 3621	. . . . . . 7 |- (R e. PosetRel -> (R i^i (A X. A)) e. _V)
63	62	ad2antrr 799	. . . . . 6 |- (((R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. TosetRel ) -> (R i^i (A X. A)) e. _V)
64		eqid 2141	. . . . . . 7 |- U.U.(R i^i (A X. A)) = U.U.(R i^i (A X. A))
65	64	istoset 11041	. . . . . 6 |- ((R i^i (A X. A)) e. _V -> ((R i^i (A X. A)) e. TosetRel <-> ((R i^i (A X. A)) e. PosetRel /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
66	63, 65	syl 13	. . . . 5 |- (((R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. TosetRel ) -> ((R i^i (A X. A)) e. TosetRel <-> ((R i^i (A X. A)) e. PosetRel /\ A.x e. U.U.(R i^i (A X. A))A.y e. U.U.(R i^i (A X. A))(x(R i^i (A X. A))y \/ y(R i^i (A X. A))x))))
67	61, 66	mpbird 318	. . . 4 |- (((R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) /\ R e. TosetRel ) -> (R i^i (A X. A)) e. TosetRel )
68	67	ex 398	. . 3 |- ((R e. PosetRel /\ A.x e. U.U.RA.y e. U.U.R(xRy \/ yRx)) -> (R e. TosetRel -> (R i^i (A X. A)) e. TosetRel ))
69	3, 68	syli 103	. 2 |- (R e. TosetRel -> (R e. TosetRel -> (R i^i (A X. A)) e. TosetRel ))
70	69	pm2.43i 108	1 |- (R e. TosetRel -> (R i^i (A X. A)) e. TosetRel )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 219   \/ wo 336   /\ wa 337   /\ w3a 1102   e. wcel 1588  A.wral 2355  _Vcvv 2538   i^i cin 2826   C_ wss 2827  U.cuni 3366   class class class wbr 3507   X. cxp 4117  PosetRelcps 10851   TosetRel ccha 11039

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1592  ax-gen 1593  ax-8 1594  ax-9 1595  ax-10 1596  ax-11 1597  ax-12 1598  ax-14 1600  ax-17 1605  ax-4 1608  ax-5o 1610  ax-6o 1613  ax-9o 1763  ax-10o 1781  ax-16 1854  ax-11o 1864  ax-ext 2123  ax-sep 3606  ax-nul 3613  ax-pow 3649  ax-pr 3687

This theorem depends on definitions:  df-bi 220  df-or 338  df-an 339  df-3an 1104  df-ex 1616  df-sb 1816  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2129  df-cleq 2134  df-clel 2137  df-ne 2268  df-ral 2359  df-rex 2360  df-v 2540  df-dif 2830  df-un 2832  df-in 2834  df-ss 2836  df-nul 3083  df-pw 3229  df-sn 3242  df-pr 3243  df-op 3246  df-uni 3367  df-br 3508  df-opab 3566  df-id 3747  df-xp 4133  df-rel 4134  df-cnv 4135  df-co 4136  df-dm 4137  df-rn 4138  df-res 4139  df-er 5479  df-ps 10855  df-toset 11040

Copyright terms: Public domain