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Theorem totbndbnd 26498
 Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 26478 to only require that be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance ) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd

Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 26481 . 2
2 1rp 10616 . . 3
3 istotbnd3 26480 . . . 4
43simprbi 451 . . 3
5 oveq2 6089 . . . . . . 7
65iuneq2d 4118 . . . . . 6
76eqeq1d 2444 . . . . 5
87rexbidv 2726 . . . 4
98rspcv 3048 . . 3
102, 4, 9mpsyl 61 . 2
11 simplll 735 . . . . . . . . . . 11
12 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . 14
1312simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13
1413ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12
1514sselda 3348 . . . . . . . . . . 11
16 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11
17 metcl 18362 . . . . . . . . . . 11
1811, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
19 metge0 18375 . . . . . . . . . . 11
2011, 15, 16, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
2118, 20ge0p1rpd 10674 . . . . . . . . 9
22 eqid 2436 . . . . . . . . 9
2321, 22fmptd 5893 . . . . . . . 8
24 frn 5597 . . . . . . . 8
2523, 24syl 16 . . . . . . 7
2612simprbi 451 . . . . . . . . . 10
27 mptfi 7406 . . . . . . . . . 10
28 rnfi 7391 . . . . . . . . . 10
2926, 27, 283syl 19 . . . . . . . . 9
3029ad2antrl 709 . . . . . . . 8
31 simplr 732 . . . . . . . . . 10
32 simprr 734 . . . . . . . . . 10
3331, 32eleqtrrd 2513 . . . . . . . . 9
34 ne0i 3634 . . . . . . . . 9
35 dm0rn0 5086 . . . . . . . . . . 11
36 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736, 22dmmpti 5574 . . . . . . . . . . . . . 14
3837eqeq1i 2443 . . . . . . . . . . . . 13
39 iuneq1 4106 . . . . . . . . . . . . 13
4038, 39sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12
41 0iun 4148 . . . . . . . . . . . 12
4240, 41syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
4335, 42sylbir 205 . . . . . . . . . 10
4443necon3i 2643 . . . . . . . . 9
4533, 34, 443syl 19 . . . . . . . 8
46 rpssre 10622 . . . . . . . . 9
4725, 46syl6ss 3360 . . . . . . . 8
48 ltso 9156 . . . . . . . . 9
49 fisupcl 7472 . . . . . . . . 9
5048, 49mpan 652 . . . . . . . 8
5130, 45, 47, 50syl3anc 1184 . . . . . . 7
5225, 51sseldd 3349 . . . . . 6
53 metxmet 18364 . . . . . . . . . . . . . 14
5453ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
56 1re 9090 . . . . . . . . . . . . 13
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
5847, 51sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . 13
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
6047adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6145adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6230adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 fimaxre2 9956 . . . . . . . . . . . . . . 15
6460, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
6522elrnmpt1 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6636, 65mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
68 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . 14
6960, 61, 64, 67, 68syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13
70 leaddsub 9504 . . . . . . . . . . . . . 14
7118, 57, 59, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
7269, 71mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
73 blss2 18434 . . . . . . . . . . . 12
7455, 15, 16, 57, 59, 72, 73syl33anc 1199 . . . . . . . . . . 11
7574ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10
76 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12
77 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13
78 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13
79 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079nfrn 5112 . . . . . . . . . . . . . 14
81 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
82 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14
8380, 81, 82nfsup 7456 . . . . . . . . . . . . 13
8477, 78, 83nfov 6104 . . . . . . . . . . . 12
8576, 84nfss 3341 . . . . . . . . . . 11
86 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
87 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12
8887sseq1d 3375 . . . . . . . . . . 11
8985, 86, 88cbvral 2928 . . . . . . . . . 10
9075, 89sylibr 204 . . . . . . . . 9
91 iunss 4132 . . . . . . . . 9
9290, 91sylibr 204 . . . . . . . 8
9332, 92eqsstr3d 3383 . . . . . . 7
9452rpxrd 10649 . . . . . . . 8
95 blssm 18448 . . . . . . . 8
9654, 31, 94, 95syl3anc 1184 . . . . . . 7
9793, 96eqssd 3365 . . . . . 6
98 oveq2 6089 . . . . . . . 8
9998eqeq2d 2447 . . . . . . 7
10099rspcev 3052 . . . . . 6
10152, 97, 100syl2anc 643 . . . . 5
102101rexlimdvaa 2831 . . . 4
103102ralrimdva 2796 . . 3
104 isbnd 26489 . . . 4
105104baib 872 . . 3
106103, 105sylibrd 226 . 2
1071, 10, 106sylc 58 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpw 3799  ciun 4093   class class class wbr 4212   cmpt 4266   wor 4502   cdm 4878   crn 4879  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cfn 7109  csup 7445  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993  cxr 9119   clt 9120   cle 9121   cmin 9291  crp 10612  cxmt 16686  cme 16687  cbl 16688  ctotbnd 26475  cbnd 26476 This theorem is referenced by:  equivbnd2  26501  prdsbnd2  26504  cntotbnd  26505  cnpwstotbnd  26506 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-totbnd 26477  df-bnd 26488
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