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Theorem totbndbnd 26498
Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 26478 to only require that  M be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance  +oo) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )

Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables  v 
d  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 26481 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
2 1rp 10616 . . 3  |-  1  e.  RR+
3 istotbnd3 26480 . . . 4  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
43simprbi 451 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X )
5 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( d  =  1  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
65iuneq2d 4118 . . . . . 6  |-  ( d  =  1  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 ) )
76eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  ( U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X ) )
87rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( d  =  1  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X ) )
98rspcv 3048 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )
102, 4, 9mpsyl 61 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X )
11 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
12 elfpw 7408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
1312simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
1413ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  v  C_  X )
1514sselda 3348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  X )
16 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  y  e.  X )
17 metcl 18362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
z M y )  e.  RR )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z M y )  e.  RR )
19 metge0 18375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( z M y ) )
2011, 15, 16, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  0  <_  ( z M y ) )
2118, 20ge0p1rpd 10674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  e.  RR+ )
22 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )
2321, 22fmptd 5893 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) : v --> RR+ )
24 frn 5597 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) : v --> RR+  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR+ )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR+ )
2612simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
27 mptfi 7406 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
28 rnfi 7391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
2926, 27, 283syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
3029ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
31 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  y  e.  X )
32 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X )
3331, 32eleqtrrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
34 ne0i 3634 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =/=  (/) )
35 dm0rn0 5086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  <->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/) )
36 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z M y )  +  1 )  e. 
_V
3736, 22dmmpti 5574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  dom  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  v
3837eqeq1i 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  <->  v  =  (/) )
39 iuneq1 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  U_ x  e.  (/)  ( x ( ball `  M
) 1 ) )
4038, 39sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  U_ x  e.  (/)  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
41 0iun 4148 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  (/)  ( x (
ball `  M )
1 )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  (/) )
4335, 42sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  (/) )
4443necon3i 2643 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =/=  (/)  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
4533, 34, 443syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
46 rpssre 10622 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
4725, 46syl6ss 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )
48 ltso 9156 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR
49 fisupcl 7472 . . . . . . . . 9  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e. 
Fin  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5048, 49mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e. 
Fin  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )  ->  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5130, 45, 47, 50syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5225, 51sseldd 3349 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
53 metxmet 18364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
5453ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
5554adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
56 1re 9090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  1  e.  RR )
5847, 51sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5958adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
6047adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) 
C_  RR )
6145adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
6230adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
63 fimaxre2 9956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )  ->  E. d  e.  RR  A. w  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d
)
6460, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  E. d  e.  RR  A. w  e. 
ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d )
6522elrnmpt1 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  v  /\  ( ( z M y )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( z M y )  +  1 )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
6636, 65mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  v  ->  (
( z M y )  +  1 )  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  e. 
ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
68 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  E. d  e.  RR  A. w  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d )  /\  ( ( z M y )  +  1 )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )  ->  (
( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
6960, 61, 64, 67, 68syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
70 leaddsub 9504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z M y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  (
( ( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )
7118, 57, 59, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( z M y )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )
7269, 71mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) )
73 blss2 18434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( 1  e.  RR  /\  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )  -> 
( z ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7455, 15, 16, 57, 59, 72, 73syl33anc 1199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7574ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  A. z  e.  v  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
76 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z
( x ( ball `  M ) 1 )
77 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z
y
78 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z
( ball `  M )
79 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z
( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )
8079nfrn 5112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )
81 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z RR
82 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z  <
8380, 81, 82nfsup 7456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )
8477, 78, 83nfov 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ z
( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
8576, 84nfss 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z ( x ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
86 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( z ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
87 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  ( z ( ball `  M ) 1 ) )
8887sseq1d 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( x ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  ( z (
ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
8985, 86, 88cbvral 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  A. z  e.  v  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9075, 89sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
91 iunss 4132 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9290, 91sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9332, 92eqsstr3d 3383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  X  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9452rpxrd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
95 blssm 18448 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  C_  X )
9654, 31, 94, 95syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  C_  X )
9793, 96eqssd 3365 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  X  =  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
98 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  ->  (
y ( ball `  M
) d )  =  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9998eqeq2d 2447 . . . . . . 7  |-  ( d  =  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
d )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
10099rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  X  =  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) )
10152, 97, 100syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) )
102101rexlimdvaa 2831 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) 1 )  =  X  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
103102ralrimdva 2796 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  X  ->  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
104 isbnd 26489 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
105104baib 872 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) d ) ) )
106103, 105sylibrd 226 . 2  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  X  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
1071, 10, 106sylc 58 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   U_ciun 4093   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    Or wor 4502   dom cdm 4878   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   supcsup 7445   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   ballcbl 16688   TotBndctotbnd 26475   Bndcbnd 26476
This theorem is referenced by:  equivbnd2  26501  prdsbnd2  26504  cntotbnd  26505  cnpwstotbnd  26506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-2 10058  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-totbnd 26477  df-bnd 26488
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