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Theorem totbndbnd 26513
Description: A totally bounded metric space is bounded. This theorem fails for extended metrics - a bounded extended metric is a metric, but there are totally bounded extended metrics that are not metrics (if we were to weaken istotbnd 26493 to only require that  M be an extended metric). A counterexample is the discrete extended metric (assigning distinct points distance  +oo) on a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
totbndbnd  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )

Proof of Theorem totbndbnd
Dummy variables  v 
d  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 totbndmet 26496 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
2 1rp 10358 . . 3  |-  1  e.  RR+
3 istotbnd3 26495 . . . 4  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X ) )
43simprbi 450 . . 3  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X )
5 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( d  =  1  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
65iuneq2d 3930 . . . . . 6  |-  ( d  =  1  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 ) )
76eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( d  =  1  ->  ( U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X ) )
87rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( d  =  1  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) d )  =  X  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X ) )
98rspcv 2880 . . 3  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  =  X  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )
102, 4, 9mpsyl 59 . 2  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  =  X )
11 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  M  e.  ( Met `  X ) )
12 elfpw 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
1312simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
1413ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  v  C_  X )
1514sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  z  e.  X )
16 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  y  e.  X )
17 metcl 17897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
z M y )  e.  RR )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z M y )  e.  RR )
19 metge0 17910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( z M y ) )
2011, 15, 16, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  0  <_  ( z M y ) )
2118, 20ge0p1rpd 10416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  e.  RR+ )
22 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )
2321, 22fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) : v --> RR+ )
24 frn 5395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) : v --> RR+  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR+ )
2523, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR+ )
2612simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
27 mptfi 7155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
28 rnfi 7141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
3029ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
31 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  y  e.  X )
32 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X )
3331, 32eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  y  e.  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
34 ne0i 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
1 )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =/=  (/) )
35 dm0rn0 4895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  <->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/) )
36 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z M y )  +  1 )  e. 
_V
3736, 22dmmpti 5373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  v
3837eqeq1i 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  <->  v  =  (/) )
39 iuneq1 3918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  U_ x  e.  (/)  ( x ( ball `  M
) 1 ) )
4038, 39sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  U_ x  e.  (/)  ( x ( ball `  M ) 1 ) )
41 0iun 3959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  (/)  ( x (
ball `  M )
1 )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  (/) )
4335, 42sylbir 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =  (/)  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  (/) )
4443necon3i 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =/=  (/)  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
4533, 34, 443syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
46 rpssre 10364 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR
4725, 46syl6ss 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )
48 ltso 8903 . . . . . . . . . 10  |-  <  Or  RR
49 fisupcl 7218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e. 
Fin  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )
)  ->  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5048, 49mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e. 
Fin  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR )  ->  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5130, 45, 47, 50syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
5225, 51sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
53 metxmet 17899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
5453ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
56 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
5756a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  1  e.  RR )
5847, 51sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5958adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
6047adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) 
C_  RR )
6145adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/) )
6230adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )
63 fimaxre2 9702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  C_  RR  /\  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  e.  Fin )  ->  E. d  e.  RR  A. w  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d
)
6460, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  E. d  e.  RR  A. w  e. 
ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d )
6522elrnmpt1 4928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  v  /\  ( ( z M y )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( z M y )  +  1 )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
6636, 65mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  v  ->  (
( z M y )  +  1 )  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
6766adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  e. 
ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )
68 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) )  =/=  (/)  /\  E. d  e.  RR  A. w  e.  ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) w  <_  d )  /\  ( ( z M y )  +  1 )  e.  ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) )  ->  (
( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
6960, 61, 64, 67, 68syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
70 leaddsub 9250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z M y )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  (
( ( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )
7118, 57, 59, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( (
( z M y )  +  1 )  <_  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  <->  ( z M y )  <_  ( sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )
7269, 71mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) )
73 blss2 17959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( 1  e.  RR  /\  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  ( z M y )  <_ 
( sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  -  1 ) ) )  -> 
( z ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7455, 15, 16, 57, 59, 72, 73syl33anc 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) 1 )  =  X ) )  /\  z  e.  v )  ->  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7574ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  A. z  e.  v  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
76 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z
( x ( ball `  M ) 1 )
77 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z
y
78 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z
( ball `  M )
79 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z
( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )
8079nfrn 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) )
81 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z RR
82 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ z  <
8380, 81, 82nfsup 7202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )
8477, 78, 83nfov 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ z
( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
8576, 84nfss 3173 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z ( x ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
86 nfv 1605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( z ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )
87 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  ( z ( ball `  M ) 1 ) )
8887sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( x ( ball `  M ) 1 ) 
C_  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  ( z (
ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
8985, 86, 88cbvral 2760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  A. z  e.  v  ( z
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9075, 89sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
91 iunss 3943 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  <->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9290, 91sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  C_  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9332, 92eqsstr3d 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  X  C_  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9452rpxrd 10391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
95 blssm 17968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  C_  X )
9654, 31, 94, 95syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  (
y ( ball `  M
) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) )  C_  X )
9793, 96eqssd 3196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  X  =  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
98 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  ->  (
y ( ball `  M
) d )  =  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
9998eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  ->  ( X  =  ( y
( ball `  M )
d )  <->  X  =  ( y ( ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v 
|->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
10099rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( sup ( ran  (
z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+  /\  X  =  ( y (
ball `  M ) sup ( ran  ( z  e.  v  |->  ( ( z M y )  +  1 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) )
10152, 97, 100syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
1 )  =  X ) )  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) )
102101expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X
)  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) 1 )  =  X  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
103102rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v 
( x ( ball `  M ) 1 )  =  X  ->  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
104103ralrimdva 2633 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  X  ->  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
105 isbnd 26504 . . . 4  |-  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M
) d ) ) )
106105baib 871 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( M  e.  ( Bnd `  X
)  <->  A. y  e.  X  E. d  e.  RR+  X  =  ( y ( ball `  M ) d ) ) )
107104, 106sylibrd 225 . 2  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) 1 )  =  X  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) ) )
1081, 10, 107sylc 56 1  |-  ( M  e.  ( TotBnd `  X
)  ->  M  e.  ( Bnd `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313   dom cdm 4689   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   Metcme 16370   ballcbl 16371   TotBndctotbnd 26490   Bndcbnd 26491
This theorem is referenced by:  equivbnd2  26516  prdsbnd2  26519  cntotbnd  26520  cnpwstotbnd  26521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-totbnd 26492  df-bnd 26503
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