MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposco Unicode version

Theorem tposco 6447
Description: Transposition of a composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposco  |- tpos  ( F  o.  G )  =  ( F  o. tpos  G
)

Proof of Theorem tposco
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5329 . 2  |-  ( ( F  o.  G )  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  =  ( F  o.  ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
2 dftpos4 6435 . 2  |- tpos  ( F  o.  G )  =  ( ( F  o.  G )  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
3 dftpos4 6435 . . 3  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
43coeq2i 4974 . 2  |-  ( F  o. tpos  G )  =  ( F  o.  ( G  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
51, 2, 43eqtr4i 2418 1  |- tpos  ( F  o.  G )  =  ( F  o. tpos  G
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649   _Vcvv 2900    u. cun 3262   (/)c0 3572   {csn 3758   U.cuni 3958    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   `'ccnv 4818    o. ccom 4823  tpos ctpos 6415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-fv 5403  df-tpos 6416
  Copyright terms: Public domain W3C validator