MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposexg Unicode version

Theorem tposexg 6248
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 6238 . 2  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
2 dmexg 4939 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  dom  F  e.  _V )
3 cnvexg 5208 . . . . 5  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  `' dom  F  e.  _V )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  `' dom  F  e.  _V )
5 snex 4216 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
6 unexg 4521 . . . 4  |-  ( ( `' dom  F  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 643 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  e.  _V )
8 rnexg 4940 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
9 xpexg 4800 . . 3  |-  ( ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e. 
_V  /\  ran  F  e. 
_V )  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
107, 8, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
11 ssexg 4160 . 2  |-  ( (tpos 
F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  /\  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  e.  _V )  -> tpos  F  e.  _V )
121, 10, 11sylancr 644 1  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690  tpos ctpos 6233
This theorem is referenced by:  tposex  6268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-tpos 6234
  Copyright terms: Public domain W3C validator