MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposexg Structured version   Unicode version

Theorem tposexg 6485
Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposexg  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )

Proof of Theorem tposexg
StepHypRef Expression
1 tposssxp 6475 . 2  |- tpos  F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  X.  ran  F )
2 dmexg 5122 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  dom  F  e.  _V )
3 cnvexg 5397 . . . . 5  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  `' dom  F  e.  _V )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  `' dom  F  e.  _V )
5 p0ex 4378 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
6 unexg 4702 . . . 4  |-  ( ( `' dom  F  e.  _V  /\ 
{ (/) }  e.  _V )  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 644 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  e.  _V )
8 rnexg 5123 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ran  F  e.  _V )
9 xpexg 4981 . . 3  |-  ( ( ( `' dom  F  u.  { (/) } )  e. 
_V  /\  ran  F  e. 
_V )  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
107, 8, 9syl2anc 643 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  (
( `' dom  F  u.  { (/) } )  X. 
ran  F )  e. 
_V )
11 ssexg 4341 . 2  |-  ( (tpos 
F  C_  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  /\  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  X.  ran  F )  e.  _V )  -> tpos  F  e.  _V )
121, 10, 11sylancr 645 1  |-  ( F  e.  V  -> tpos  F  e. 
_V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871  tpos ctpos 6470
This theorem is referenced by:  tposex  6505
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-tpos 6471
  Copyright terms: Public domain W3C validator