MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposoprab Structured version   Unicode version

Theorem tposoprab 6507
Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tposoprab.1  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
Assertion
Ref Expression
tposoprab  |- tpos  F  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem tposoprab
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tposoprab.1 . . 3  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
21tposeqi 6504 . 2  |- tpos  F  = tpos  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
3 reldmoprab 6150 . . 3  |-  Rel  dom  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
4 dftpos3 6489 . . 3  |-  ( Rel 
dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  -> tpos  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  <. b ,  a >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } c } )
53, 4ax-mp 8 . 2  |- tpos  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. <. a ,  b >. ,  c
>.  |  <. b ,  a >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } c }
6 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ y <. b ,  a >.
7 nfoprab2 6116 . . . . 5  |-  F/_ y { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
8 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ y
c
96, 7, 8nfbr 4248 . . . 4  |-  F/ y
<. b ,  a >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
10 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ x <. b ,  a >.
11 nfoprab1 6115 . . . . 5  |-  F/_ x { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
12 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ x
c
1310, 11, 12nfbr 4248 . . . 4  |-  F/ x <. b ,  a >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
14 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ a
<. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
15 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ b
<. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
16 opeq12 3978 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  x  /\  a  =  y )  -> 
<. b ,  a >.  =  <. x ,  y
>. )
1716ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  -> 
<. b ,  a >.  =  <. x ,  y
>. )
1817breq1d 4214 . . . 4  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( <. b ,  a
>. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c  <->  <. x ,  y >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } c ) )
199, 13, 14, 15, 18cbvoprab12 6138 . . 3  |-  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }  =  { <. <. y ,  x >. ,  c >.  |  <. x ,  y >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }
20 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ z <. x ,  y >.
21 nfoprab3 6117 . . . . 5  |-  F/_ z { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
22 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ z
c
2320, 21, 22nfbr 4248 . . . 4  |-  F/ z
<. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c
24 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ c
ph
25 breq2 4208 . . . . 5  |-  ( c  =  z  ->  ( <. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c  <->  <. x ,  y >. { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } z ) )
26 df-br 4205 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e.  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph } )
27 oprabid 6097 . . . . . 6  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e.  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  ph )
2826, 27bitri 241 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } z  <->  ph )
2925, 28syl6bb 253 . . . 4  |-  ( c  =  z  ->  ( <. x ,  y >. { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } c  <->  ph ) )
3023, 24, 29cbvoprab3 6140 . . 3  |-  { <. <.
y ,  x >. ,  c >.  |  <. x ,  y >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
3119, 30eqtri 2455 . 2  |-  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph } c }  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
322, 5, 313eqtri 2459 1  |- tpos  F  =  { <. <. y ,  x >. ,  z >.  |  ph }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   <.cop 3809   class class class wbr 4204   dom cdm 4870   Rel wrel 4875   {coprab 6074  tpos ctpos 6470
This theorem is referenced by:  tposmpt2  6508
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-oprab 6077  df-tpos 6471
  Copyright terms: Public domain W3C validator