MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposss Unicode version

Theorem tposss 6235
Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposss  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )

Proof of Theorem tposss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coss1 4839 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
2 resss 4979 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
3 dmss 4878 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
4 cnvss 4854 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
F  C_  dom  G  ->  `' dom  F  C_  `' dom  G )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  G  ->  `' dom  F  C_  `' dom  G )
6 unss1 3344 . . . . . . 7  |-  ( `' dom  F  C_  `' dom  G  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/) } ) )
7 resmpt 5000 . . . . . . 7  |-  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
85, 6, 73syl 18 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  G  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
98sseq1d 3205 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  (
( ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  <-> 
( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) ) )
102, 9mpbii 202 . . . 4  |-  ( F 
C_  G  ->  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
11 coss2 4840 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
131, 12sstrd 3189 . 2  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
14 df-tpos 6234 . 2  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
15 df-tpos 6234 . 2  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
1613, 14, 153sstr4g 3219 1  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691    o. ccom 4693  tpos ctpos 6233
This theorem is referenced by:  tposeq  6236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-res 4701  df-tpos 6234
  Copyright terms: Public domain W3C validator