MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tposss Structured version   Unicode version

Theorem tposss 6472
Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposss  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )

Proof of Theorem tposss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coss1 5020 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
2 dmss 5061 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
3 cnvss 5037 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  C_  dom  G  ->  `' dom  F  C_  `' dom  G )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  G  ->  `' dom  F  C_  `' dom  G )
5 unss1 3508 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  C_  `' dom  G  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/) } ) )
6 resmpt 5183 . . . . . 6  |-  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
74, 5, 63syl 19 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
8 resss 5162 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
97, 8syl6eqssr 3391 . . . 4  |-  ( F 
C_  G  ->  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
10 coss2 5021 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
121, 11sstrd 3350 . 2  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
13 df-tpos 6471 . 2  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
14 df-tpos 6471 . 2  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
1512, 13, 143sstr4g 3381 1  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    |` cres 4872    o. ccom 4874  tpos ctpos 6470
This theorem is referenced by:  tposeq  6473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-res 4882  df-tpos 6471
  Copyright terms: Public domain W3C validator