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Theorem tpr2rico 24302
 Description: For any point of an open set of the usual topology on there is an opened square which contains that point and is entirely in the open set. This is square is actually a ball by the norm . (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
tpr2rico.0
tpr2rico.1
tpr2rico.2
Assertion
Ref Expression
tpr2rico
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,,)   (,,,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem tpr2rico
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 10912 . . . . . . . . . 10
21ixxf 10918 . . . . . . . . 9
3 ffn 5583 . . . . . . . . 9
42, 3mp1i 12 . . . . . . . 8
5 elssuni 4035 . . . . . . . . . . . . . 14
6 tpr2rico.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7 retop 18787 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86, 7eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15
9 uniretop 18788 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106unieqi 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119, 10eqtr4i 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15
128, 8, 11, 11txunii 17617 . . . . . . . . . . . . . 14
135, 12syl6sseqr 3387 . . . . . . . . . . . . 13
1413ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12
15 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15sseldd 3341 . . . . . . . . . . 11
17 xp1st 6368 . . . . . . . . . . 11
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
19 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
2019rpred 10640 . . . . . . . . . . 11
2120rehalfcld 10206 . . . . . . . . . 10
2218, 21resubcld 9457 . . . . . . . . 9
2322rexrd 9126 . . . . . . . 8
2418, 21readdcld 9107 . . . . . . . . 9
2524rexrd 9126 . . . . . . . 8
26 fnovrn 6213 . . . . . . . 8
274, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . . . . . 7
28 xp2nd 6369 . . . . . . . . . . 11
2916, 28syl 16 . . . . . . . . . 10
3029, 21resubcld 9457 . . . . . . . . 9
3130rexrd 9126 . . . . . . . 8
3229, 21readdcld 9107 . . . . . . . . 9
3332rexrd 9126 . . . . . . . 8
34 fnovrn 6213 . . . . . . . 8
354, 31, 33, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7
36 eqidd 2436 . . . . . . 7
37 xpeq1 4884 . . . . . . . . 9
3837eqeq2d 2446 . . . . . . . 8
39 xpeq2 4885 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2446 . . . . . . . 8
4138, 40rspc2ev 3052 . . . . . . 7
4227, 35, 36, 41syl3anc 1184 . . . . . 6
43 eqid 2435 . . . . . . 7
44 vex 2951 . . . . . . . 8
45 vex 2951 . . . . . . . 8
4644, 45xpex 4982 . . . . . . 7
4743, 46elrnmpt2 6175 . . . . . 6
4842, 47sylibr 204 . . . . 5
49 tpr2rico.2 . . . . 5
5048, 49syl6eleqr 2526 . . . 4
5150ralrimiva 2781 . . 3
52 xpss 4974 . . . . . . 7
5352, 16sseldi 3338 . . . . . 6
5418rexrd 9126 . . . . . . . 8
5519rphalfcld 10652 . . . . . . . . 9
5618, 55ltsubrpd 10668 . . . . . . . 8
5718, 55ltaddrpd 10669 . . . . . . . 8
58 elioo1 10948 . . . . . . . . 9
5923, 25, 58syl2anc 643 . . . . . . . 8
6054, 56, 57, 59mpbir3and 1137 . . . . . . 7
6129rexrd 9126 . . . . . . . 8
6229, 55ltsubrpd 10668 . . . . . . . 8
6329, 55ltaddrpd 10669 . . . . . . . 8
64 elioo1 10948 . . . . . . . . 9
6531, 33, 64syl2anc 643 . . . . . . . 8
6661, 62, 63, 65mpbir3and 1137 . . . . . . 7
6760, 66jca 519 . . . . . 6
68 elxp7 6371 . . . . . 6
6953, 67, 68sylanbrc 646 . . . . 5
7069ralrimiva 2781 . . . 4
71 mnfle 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7223, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 pnfge 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7425, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 mnfxr 10706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77 ioossioo 24126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7875, 76, 77mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7972, 74, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 ioomax 10977 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8179, 80syl6sseq 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 mnfle 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8331, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
84 pnfge 10719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8533, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
86 ioossioo 24126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8775, 76, 86mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8883, 85, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8988, 80syl6sseq 3386 . . . . . . . . . . . . . . 15
90 xpss12 4973 . . . . . . . . . . . . . . 15
9181, 89, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
9291sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13
9392expcom 425 . . . . . . . . . . . 12
9493ancld 537 . . . . . . . . . . 11
9594imdistanri 673 . . . . . . . . . 10
9613adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9896, 97sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . 15
99983anassrs 1175 . . . . . . . . . . . . . 14
100 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
101 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101rphalfcld 10652 . . . . . . . . . . . . . 14
103 tpr2rico.1 . . . . . . . . . . . . . . 15
104103cnre2csqima 24301 . . . . . . . . . . . . . 14
10599, 100, 102, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
106 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 fld fld
107103, 6, 106cnrehmeo 18970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld
108106cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 fld TopOn
109108toponunii 16989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 fld
11012, 109hmeof1o 17788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 fld
111 f1of 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112107, 110, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113, 99ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115112a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117 sqsscirc2 24299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118114, 116, 101, 117syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15
120101rpxrd 10641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122 cnxmet 18799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123121, 122jctil 524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125116adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126124, 125jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128127cnmetdval 18797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129125, 124, 128syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131129, 130eqbrtrd 4224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132 elbl3 18414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
133132biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134123, 126, 131, 133syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15
135119, 134syldan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
136135ex 424 . . . . . . . . . . . . 13
137105, 136syld 42 . . . . . . . . . . . 12
138 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15
139107, 110, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14
140 f1ofun 5668 . . . . . . . . . . . . . 14
141139, 140ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13
142 f1odm 5670 . . . . . . . . . . . . . . 15
143139, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
144116, 143syl6eleqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13
145 funfvima 5965 . . . . . . . . . . . . 13
146141, 144, 145sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
147107, 110mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15
148 f1ocnvfv1 6006 . . . . . . . . . . . . . . 15
149147, 100, 148syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
150149eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
151150biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12
152137, 146, 1513syld 53 . . . . . . . . . . 11
153152imp 419 . . . . . . . . . 10
15495, 153syl 16 . . . . . . . . 9
155154ex 424 . . . . . . . 8
156155ssrdv 3346 . . . . . . 7
157156ralrimiva 2781 . . . . . 6
158103mpt2fun 6164 . . . . . . . . . 10
159158a1i 11 . . . . . . . . 9
16013sselda 3340 . . . . . . . . . 10
161 f1odm 5670 . . . . . . . . . . 11
162107, 110, 161mp2b 10 . . . . . . . . . 10
163160, 162syl6eleqr 2526 . . . . . . . . 9
164 simpr 448 . . . . . . . . 9
165 funfvima 5965 . . . . . . . . . 10
166165imp 419 . . . . . . . . 9
167159, 163, 164, 166syl21anc 1183 . . . . . . . 8
168 hmeoima 17789 . . . . . . . . . . 11 fld fld
169107, 168mpan 652 . . . . . . . . . 10 fld
170106cnfldtopn 18808 . . . . . . . . . . . . 13 fld
171170elmopn2 18467 . . . . . . . . . . . 12 fld
172122, 171ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 fld
173172simprbi 451 . . . . . . . . . 10 fld
174169, 173syl 16 . . . . . . . . 9
175174adantr 452 . . . . . . . 8
176 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11
177176sseq1d 3367 . . . . . . . . . 10
178177rexbidv 2718 . . . . . . . . 9
179178rspcva 3042 . . . . . . . 8
180167, 175, 179syl2anc 643 . . . . . . 7
181 imass2 5232 . . . . . . . . . 10
182 f1of1 5665 . . . . . . . . . . . . 13
183107, 110, 182mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12
184 f1imacnv 5683 . . . . . . . . . . . 12
185183, 13, 184sylancr 645 . . . . . . . . . . 11
186185sseq2d 3368 . . . . . . . . . 10
187181, 186syl5ib 211 . . . . . . . . 9
188187reximdv 2809 . . . . . . . 8
189188adantr 452 . . . . . . 7
190180, 189mpd 15 . . . . . 6
191 r19.29 2838 . . . . . 6
192157, 190, 191syl2anc 643 . . . . 5
193 sstr 3348 . . . . . 6
194193reximi 2805 . . . . 5
195192, 194syl 16 . . . 4
196 r19.29 2838 . . . 4
19770, 195, 196syl2anc 643 . . 3
198 r19.29 2838 . . 3
19951, 197, 198syl2anc 643 . 2
200 eleq2 2496 . . . . 5
201 sseq1 3361 . . . . 5
202200, 201anbi12d 692 . . . 4
203202rspcev 3044 . . 3
204203rexlimivw 2818 . 2
205199, 204syl 16 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  cpw 3791  cuni 4007   class class class wbr 4204   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871  cima 4873   ccom 4874   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  wf1 5443  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c1st 6339  c2nd 6340  cc 8980  cr 8981  ci 8984   caddc 8985   cmul 8987   cpnf 9109   cmnf 9110  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  c2 10041  crp 10604  cioo 10908  cre 11894  cim 11895  cabs 12031  ctopn 13641  ctg 13657  cxmt 16678  cbl 16680  ℂfldccnfld 16695  ctop 16950   ctx 17584   chmeo 17777 This theorem is referenced by:  dya2iocnei  24624 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900
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