MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpsprop2d Unicode version

Theorem tpsprop2d 16930
Description: A topological space depends only on the base and topology components. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tpsprop2d.1  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
tpsprop2d.2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  L )
)
Assertion
Ref Expression
tpsprop2d  |-  ( ph  ->  ( K  e.  TopSp  <->  L  e.  TopSp ) )

Proof of Theorem tpsprop2d
StepHypRef Expression
1 tpsprop2d.1 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  K
)  =  ( Base `  L ) )
2 tpsprop2d.2 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  K )  =  (TopSet `  L )
)
31, 2topnpropd 13592 . 2  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  K )  =  ( TopOpen `  L
) )
41, 3tpspropd 16929 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  TopSp  <->  L  e.  TopSp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395   Basecbs 13397  TopSetcts 13463   TopSpctps 16885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-rest 13578  df-topn 13579  df-top 16887  df-topon 16890  df-topsp 16891
  Copyright terms: Public domain W3C validator