MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpsuni Structured version   Unicode version

Theorem tpsuni 17003
Description: The base set of a topological space. (Contributed by FL, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
istps.a  |-  A  =  ( Base `  K
)
istps.j  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
Assertion
Ref Expression
tpsuni  |-  ( K  e.  TopSp  ->  A  =  U. J )

Proof of Theorem tpsuni
StepHypRef Expression
1 istps.a . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
2 istps.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  K )
31, 2istps2 17002 . 2  |-  ( K  e.  TopSp 
<->  ( J  e.  Top  /\  A  =  U. J
) )
43simprbi 451 1  |-  ( K  e.  TopSp  ->  A  =  U. J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   U.cuni 4015   ` cfv 5454   Basecbs 13469   TopOpenctopn 13649   Topctop 16958   TopSpctps 16961
This theorem is referenced by:  mreclatdemo  17160  haustsms  18165  cnextucn  18333  ressxms  18555  rlmbn  19315  rrhf  24381  esumcocn  24470  sibf0  24649  sibfof  24654  sitgclg  24656  sitmcl  24663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-top 16963  df-topon 16966  df-topsp 16967
  Copyright terms: Public domain W3C validator