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Theorem tratrb 28299
Description: If a class is transitive and any two distinct elements of the class are E-comparable, then every element of that class is transitive. Derived automatically from tratrbVD 28637. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrb  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrb
StepHypRef Expression
1 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ x Tr  A
2 nfra1 2593 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
3 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ x  B  e.  A
41, 2, 3nf3an 1774 . . 3  |-  F/ x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
5 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ y Tr  A
6 nfra2 2597 . . . . 5  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)
7 nfv 1605 . . . . 5  |-  F/ y  B  e.  A
85, 6, 7nf3an 1774 . . . 4  |-  F/ y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)
9 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
109a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y ) )
11 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
1211a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B ) )
13 pm3.2an3 1131 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1410, 12, 13ee22 1352 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
15 en3lp 7418 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
16 con3 126 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
1714, 15, 16syl6mpi 58 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  B  e.  x
) )
18 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
1918biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2012, 19syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  y  e.  x
) ) )
21 pm3.2 434 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2210, 20, 21ee23 1354 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ) )
23 en2lp 7317 . . . . . 6  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
24 con3 126 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
2522, 23, 24syl6mpi 58 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  -.  x  =  B ) )
26 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
27 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
28 trel 4120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2928exp3a 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
3027, 12, 26, 29ee121 28266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  A ) )
31 trel 4120 . . . . . . . . . 10  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
3231exp3a 425 . . . . . . . . 9  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
3327, 10, 30, 32ee122 28267 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A ) )
34 ralcom2 2704 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
35343ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
36 rspsbc2 28297 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
3726, 33, 35, 36ee121 28266 . . . . . . 7  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
38 equid 1644 . . . . . . . 8  |-  x  =  x
39 sbceq1a 3001 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  x  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
4137, 40syl6ibr 218 . . . . . 6  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
42 sbcoreleleq 28298 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4342biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
4426, 41, 43sylsyld 52 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ) )
45 3ornot23 28270 . . . . . 6  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
4645ex 423 . . . . 5  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
4717, 25, 44, 46ee222 28263 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
488, 47alrimi 1745 . . 3  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
494, 48alrimi 1745 . 2  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
50 dftr2 4115 . 2  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
5149, 50sylibr 203 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   [.wsbc 2991   Tr wtr 4113
This theorem is referenced by:  ordelordALT  28301  ordelordALTVD  28643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-fr 4352
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