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Theorem tratrbVD 28637
Description: Virtual deduction proof of tratrb 28299. The following user's proof is completed by invoking mmj2's unify command and using mmj2's StepSelector to pick all remaining steps of the Metamath proof.
1::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ).
2:1,?: e1_ 28399  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
3:1,?: e1_ 28399  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
4:1,?: e1_ 28399  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
5::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ).
6:5,?: e2 28403  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  y ).
7:5,?: e2 28403  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  y  e.  B ).
8:2,7,4,?: e121 28428  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  y  e.  A ).
9:2,6,8,?: e122 28425  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  A ).
10::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  B  e.  x  ->.  B  e.  x ).
11:6,7,10,?: e223 28407  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  B  e.  x  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ).
12:11:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ) ).
13::  |-  -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
14:12,13,?: e20 28502  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  -.  B  e.  x ).
15::  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  x  =  B ).
16:7,15,?: e23 28530  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  y  e.  x ).
17:6,16,?: e23 28530  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B ) ,  x  =  B  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ).
18:17:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ).
19::  |-  -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x )
20:18,19,?: e20 28502  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  -.  x  =  B ).
21:3,?: e1_ 28399  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y  e.  A  A. x  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
22:21,9,4,?: e121 28428  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
23:22,?: e2 28403  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
24:4,23,?: e12 28499  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ).
25:14,20,24,?: e222 28408  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,  ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->.  x  e.  B ).
26:25:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
27::  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
28:27,?: e0_ 28547  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  A. y ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) )
29:28,26:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
30::  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. x A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
31:30,?: e0_ 28547  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( Tr  A  /\  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) )
32:31,29:  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
33:32,?: e1_ 28399  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
qed:33:  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->  Tr  B )
(Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tratrbVD  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem tratrbVD
StepHypRef Expression
1 hbra1 2592 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
2 alrim3con13v 28296 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  A. x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ) )
31, 2e0_ 28547 . . . 4  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) )
4 ax-17 1603 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  A. y  x  e.  A )
5 hbra1 2592 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
64, 5hbral 2591 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
7 alrim3con13v 28296 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  A. y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  (
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ) )
86, 7e0_ 28547 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. y
( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) )
9 idn2 28385 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ).
10 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  y )
119, 10e2 28403 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  y ).
12 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
139, 12e2 28403 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  y  e.  B ).
14 idn3 28387 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. B  e.  x  ->.  B  e.  x ).
15 pm3.2an3 1131 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  B  -> 
( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ) )
1611, 13, 14, 15e223 28407 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. B  e.  x  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x ) ).
1716in3 28381 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( B  e.  x  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) ) ).
18 en3lp 7418 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x )
19 con3 126 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  B  /\  B  e.  x
)  ->  -.  B  e.  x ) )
2017, 18, 19e20 28502 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  -.  B  e.  x ).
21 idn3 28387 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  x  =  B ).
22 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  B ) )
2322biimprcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  B  ->  (
x  =  B  -> 
y  e.  x ) )
2413, 21, 23e23 28530 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  y  e.  x ).
25 pm3.2 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  y  ->  (
y  e.  x  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) ) )
2611, 24, 25e23 28530 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) ,. x  =  B  ->.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ).
2726in3 28381 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  =  B  ->  ( x  e.  y  /\  y  e.  x ) ) ).
28 en2lp 7317 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  y  /\  y  e.  x )
29 con3 126 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  B  -> 
( x  e.  y  /\  y  e.  x
) )  ->  ( -.  ( x  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  -.  x  =  B ) )
3027, 28, 29e20 28502 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  -.  x  =  B ).
31 idn1 28342 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
) ).
32 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  B  e.  A )
3331, 32e1_ 28399 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
34 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
3531, 34e1_ 28399 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
36 ralcom2 2704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
3735, 36e1_ 28399 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
38 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  A
)
3931, 38e1_ 28399 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
40 trel 4120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Tr  A  ->  ( (
y  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
4140exp3a 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( y  e.  B  ->  ( B  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
4239, 13, 33, 41e121 28428 . . . . . . . . . . 11  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  y  e.  A ).
43 trel 4120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
4443exp3a 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  x  e.  A ) ) )
4539, 11, 42, 44e122 28425 . . . . . . . . . 10  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  A ).
46 rspsbc2 28297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  A  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
4746com13 74 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( B  e.  A  ->  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) ) )
4837, 45, 33, 47e121 28428 . . . . . . . . 9  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ).
49 equid 1644 . . . . . . . . . . 11  |-  x  =  x
50 sbceq2a 3002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  x  ->  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
5149, 50ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  <->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
5251biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( [. x  /  x ]. [. B  /  y ]. (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
5348, 52e2 28403 . . . . . . . 8  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ).
54 sbcoreleleq 28298 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  <->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
5554biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  A  ->  ( [. B  /  y ]. ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
)  ->  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B ) ) )
5633, 53, 55e12 28499 . . . . . . 7  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  ( x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B
) ).
57 3ornot23 28270 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  B  e.  x  /\  -.  x  =  B )  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) )
5857ex 423 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  x  -> 
( -.  x  =  B  ->  ( (
x  e.  B  \/  B  e.  x  \/  x  =  B )  ->  x  e.  B ) ) )
5920, 30, 56, 58e222 28408 . . . . . 6  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A ) ,. ( x  e.  y  /\  y  e.  B
) 
->.  x  e.  B ).
6059in2 28377 . . . . 5  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B ) ).
618, 60gen11nv 28389 . . . 4  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) ).
623, 61gen11nv 28389 . . 3  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B
)  ->  x  e.  B ) ).
63 dftr2 4115 . . . 4  |-  ( Tr  B  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
6463biimpri 197 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  B )  ->  Tr  B )
6562, 64e1_ 28399 . 2  |-  (. ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
6665in1 28339 1  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    \/ w3o 933    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   [.wsbc 2991   Tr wtr 4113
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-fr 4352  df-vd1 28338  df-vd2 28347  df-vd3 28359
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