Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclval Unicode version

Theorem trclval 25894
Description: The transitive closure of a set A. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
trclval  |-  ( A  e.  B  ->  ( tr `  A )  = 
U_ a  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
Distinct variable groups:    A, a    z, a
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, a)

Proof of Theorem trclval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
2 rdgeq2 6425 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  x )  =  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A ) )
32reseq1d 4954 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) )
43fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  x
)  |`  om ) `  a )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  a ) )
54iuneq2d 3930 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  U_ a  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  x )  |`  om ) `  a )  =  U_ a  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
6 df-trcls 25893 . . 3  |-  tr  =  ( x  e.  _V  |->  U_ a  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  x
)  |`  om ) `  a ) )
7 omex 7344 . . . 4  |-  om  e.  _V
8 fvex 5539 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a
)  e.  _V
97, 8iunex 5770 . . 3  |-  U_ a  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a )  e.  _V
105, 6, 9fvmpt 5602 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( tr `  A )  = 
U_ a  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
111, 10syl 15 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( tr `  A )  = 
U_ a  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   U.cuni 3827   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   omcom 4656    |` cres 4691   ` cfv 5255   reccrdg 6422   trctr 25892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-trcls 25893
  Copyright terms: Public domain W3C validator