Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclval Unicode version

Theorem trclval 25997
Description: The transitive closure of a set A. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
trclval  |-  ( A  e.  B  ->  ( tr `  A )  = 
U_ a  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
Distinct variable groups:    A, a    z, a
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, a)

Proof of Theorem trclval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
2 rdgeq2 6441 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  x )  =  rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A ) )
32reseq1d 4970 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  x )  |`  om )  =  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) )
43fveq1d 5543 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  x
)  |`  om ) `  a )  =  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  A
)  |`  om ) `  a ) )
54iuneq2d 3946 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  U_ a  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  x )  |`  om ) `  a )  =  U_ a  e. 
om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
6 df-trcls 25996 . . 3  |-  tr  =  ( x  e.  _V  |->  U_ a  e.  om  (
( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z
) ) ,  x
)  |`  om ) `  a ) )
7 omex 7360 . . . 4  |-  om  e.  _V
8 fvex 5555 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a
)  e.  _V
97, 8iunex 5786 . . 3  |-  U_ a  e.  om  ( ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  u. 
U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a )  e.  _V
105, 6, 9fvmpt 5618 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( tr `  A )  = 
U_ a  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
111, 10syl 15 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( tr `  A )  = 
U_ a  e.  om  ( ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  u.  U. z ) ) ,  A )  |`  om ) `  a ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163   U.cuni 3843   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   omcom 4672    |` cres 4707   ` cfv 5271   reccrdg 6438   trctr 25995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-trcls 25996
  Copyright terms: Public domain W3C validator