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Theorem trer 26330
Description: A relation intersected with its converse is an equivalence relation if the relation is transitive. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trer  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  Er  dom  (  .<_  i^i  `'  .<_  ) )
Distinct variable group:    a, b, c,  .<_

Proof of Theorem trer
Dummy variables  r 
s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3403 . . . 4  |-  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  C_  `'  .<_
2 relcnv 5067 . . . 4  |-  Rel  `'  .<_
3 relss 4791 . . . 4  |-  ( ( 
.<_  i^i  `'  .<_  )  C_  `'  .<_  ->  ( Rel  `'  .<_  ->  Rel  (  .<_  i^i  `'  .<_  ) ) )
41, 2, 3mp2 17 . . 3  |-  Rel  (  .<_  i^i  `'  .<_  )
54a1i 10 . 2  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  Rel  (  .<_  i^i  `'  .<_  ) )
6 eqidd 2297 . 2  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  dom  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  =  dom  (  .<_  i^i  `'  .<_  ) )
7 brin 4086 . . . . . . . 8  |-  ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  <->  ( r  .<_  s  /\  r `'  .<_  s ) )
8 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  r  e. 
_V
9 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
108, 9brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( r `'  .<_  s  <->  s  .<_  r )
1110anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  .<_  s  /\  r `'  .<_  s )  <-> 
( r  .<_  s  /\  s  .<_  r ) )
127, 11bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  <->  ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r ) )
13 brin 4086 . . . . . . . 8  |-  ( s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t  <->  ( s  .<_  t  /\  s `'  .<_  t ) )
14 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  t  e. 
_V
159, 14brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( s `'  .<_  t  <->  t  .<_  s )
1615anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  .<_  t  /\  s `'  .<_  t )  <-> 
( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )
1713, 16bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t  <->  ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )
1812, 17anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  /\  s
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) t )  <->  ( (
r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  (
s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) ) )
19 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  r  ->  (
a  .<_  b  <->  r  .<_  b ) )
2019anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  r  ->  (
( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  <->  ( r  .<_  b  /\  b  .<_  c ) ) )
21 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  r  ->  (
a  .<_  c  <->  r  .<_  c ) )
2220, 21imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  r  ->  (
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  <-> 
( ( r  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  r  .<_  c ) ) )
23222albidv 1617 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  r  ->  ( A. b A. c ( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  -> 
a  .<_  c )  <->  A. b A. c ( ( r 
.<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  r  .<_  c ) ) )
2423spv 1951 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  A. b A. c
( ( r  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  r  .<_  c ) )
25 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  s  ->  (
r  .<_  b  <->  r  .<_  s ) )
26 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  s  ->  (
b  .<_  c  <->  s  .<_  c ) )
2725, 26anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  s  ->  (
( r  .<_  b  /\  b  .<_  c )  <->  ( r  .<_  s  /\  s  .<_  c ) ) )
2827imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  s  ->  (
( ( r  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  r  .<_  c )  <-> 
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  r  .<_  c ) ) )
2928albidv 1615 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  s  ->  ( A. c ( ( r 
.<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  r  .<_  c )  <->  A. c
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  r  .<_  c ) ) )
3029spv 1951 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b A. c ( ( r  .<_  b  /\  b  .<_  c )  -> 
r  .<_  c )  ->  A. c ( ( r 
.<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  r  .<_  c ) )
31 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  t  ->  (
s  .<_  c  <->  s  .<_  t ) )
3231anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  t  ->  (
( r  .<_  s  /\  s  .<_  c )  <->  ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t ) ) )
33 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  t  ->  (
r  .<_  c  <->  r  .<_  t ) )
3432, 33imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  t  ->  (
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  r  .<_  c )  <-> 
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  ->  r  .<_  t ) ) )
3534spv 1951 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c ( ( r 
.<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  r  .<_  c )  ->  (
( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  -> 
r  .<_  t ) )
36 pm3.3 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  -> 
r  .<_  t )  -> 
( r  .<_  s  -> 
( s  .<_  t  -> 
r  .<_  t ) ) )
3736com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  -> 
r  .<_  t )  -> 
( s  .<_  t  -> 
( r  .<_  s  -> 
r  .<_  t ) ) )
3837adantrd 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  -> 
r  .<_  t )  -> 
( ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s )  ->  ( r  .<_  s  ->  r  .<_  t ) ) )
3938com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  -> 
r  .<_  t )  -> 
( r  .<_  s  -> 
( ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s )  ->  r  .<_  t ) ) )
4039adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  -> 
r  .<_  t )  -> 
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  ->  ( ( s 
.<_  t  /\  t  .<_  s )  ->  r  .<_  t ) ) )
4140imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  t )  -> 
r  .<_  t )  -> 
( ( ( r 
.<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  (
s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  -> 
r  .<_  t ) )
4235, 41syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A. c ( ( r 
.<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  r  .<_  c )  ->  (
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  ->  r  .<_  t ) )
4324, 30, 423syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  ->  r  .<_  t ) )
44 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  t  ->  (
a  .<_  b  <->  t  .<_  b ) )
4544anbi1d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  t  ->  (
( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  <->  ( t  .<_  b  /\  b  .<_  c ) ) )
46 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  t  ->  (
a  .<_  c  <->  t  .<_  c ) )
4745, 46imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  t  ->  (
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  <-> 
( ( t  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  t  .<_  c ) ) )
48472albidv 1617 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  t  ->  ( A. b A. c ( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  -> 
a  .<_  c )  <->  A. b A. c ( ( t 
.<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  t  .<_  c ) ) )
4948spv 1951 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  A. b A. c
( ( t  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  t  .<_  c ) )
50 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  s  ->  (
t  .<_  b  <->  t  .<_  s ) )
5150, 26anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  s  ->  (
( t  .<_  b  /\  b  .<_  c )  <->  ( t  .<_  s  /\  s  .<_  c ) ) )
5251imbi1d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  s  ->  (
( ( t  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  t  .<_  c )  <-> 
( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  t  .<_  c ) ) )
5352albidv 1615 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  s  ->  ( A. c ( ( t 
.<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  t  .<_  c )  <->  A. c
( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  t  .<_  c ) ) )
5453spv 1951 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b A. c ( ( t  .<_  b  /\  b  .<_  c )  -> 
t  .<_  c )  ->  A. c ( ( t 
.<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  t  .<_  c ) )
55 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  r  ->  (
s  .<_  c  <->  s  .<_  r ) )
5655anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  r  ->  (
( t  .<_  s  /\  s  .<_  c )  <->  ( t  .<_  s  /\  s  .<_  r ) ) )
57 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  r  ->  (
t  .<_  c  <->  t  .<_  r ) )
5856, 57imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  r  ->  (
( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  t  .<_  c )  <-> 
( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  r )  ->  t  .<_  r ) ) )
5958spv 1951 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. c ( ( t 
.<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  t  .<_  c )  ->  (
( t  .<_  s  /\  s  .<_  r )  -> 
t  .<_  r ) )
60 pm3.3 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  r )  -> 
t  .<_  r )  -> 
( t  .<_  s  -> 
( s  .<_  r  -> 
t  .<_  r ) ) )
6160adantld 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  r )  -> 
t  .<_  r )  -> 
( ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s )  ->  ( s  .<_  r  ->  t  .<_  r ) ) )
6261com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  r )  -> 
t  .<_  r )  -> 
( s  .<_  r  -> 
( ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s )  ->  t  .<_  r ) ) )
6362adantld 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  r )  -> 
t  .<_  r )  -> 
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  ->  ( ( s 
.<_  t  /\  t  .<_  s )  ->  t  .<_  r ) ) )
6463imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  .<_  s  /\  s  .<_  r )  -> 
t  .<_  r )  -> 
( ( ( r 
.<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  (
s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  -> 
t  .<_  r ) )
6559, 64syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( A. c ( ( t 
.<_  s  /\  s  .<_  c )  ->  t  .<_  c )  ->  (
( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  ->  t  .<_  r ) )
6649, 54, 653syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  ->  t  .<_  r ) )
6743, 66jcad 519 . . . . . . 7  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  ->  ( r  .<_  t  /\  t  .<_  r ) ) )
68 brin 4086 . . . . . . . 8  |-  ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t  <->  ( r  .<_  t  /\  r `'  .<_  t ) )
698, 14brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( r `'  .<_  t  <->  t  .<_  r )
7069anbi2i 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  .<_  t  /\  r `'  .<_  t )  <-> 
( r  .<_  t  /\  t  .<_  r ) )
7168, 70bitr2i 241 . . . . . . 7  |-  ( ( r  .<_  t  /\  t  .<_  r )  <->  r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t )
7267, 71syl6ib 217 . . . . . 6  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  ( ( ( r  .<_  s  /\  s  .<_  r )  /\  ( s  .<_  t  /\  t  .<_  s ) )  ->  r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t ) )
7318, 72syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  /\  s ( 
.<_  i^i  `'  .<_  ) t )  ->  r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t ) )
749, 8brcnv 4880 . . . . . . . . 9  |-  ( s `'  .<_  r  <->  r  .<_  s )
7574bicomi 193 . . . . . . . 8  |-  ( r 
.<_  s  <->  s `'  .<_  r )
7675, 10anbi12ci 679 . . . . . . 7  |-  ( ( r  .<_  s  /\  r `'  .<_  s )  <-> 
( s  .<_  r  /\  s `'  .<_  r ) )
77 brin 4086 . . . . . . 7  |-  ( s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) r  <->  ( s  .<_  r  /\  s `'  .<_  r ) )
7876, 7, 773bitr4i 268 . . . . . 6  |-  ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  <->  s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) r )
7978biimpi 186 . . . . 5  |-  ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  ->  s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) r )
8073, 79jctil 523 . . . 4  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  ->  s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) r )  /\  ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  /\  s
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) t )  ->  r
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) t ) ) )
8180alrimiv 1621 . . 3  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  A. t ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  ->  s
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) r )  /\  (
( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  /\  s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t )  -> 
r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) t ) ) )
8281alrimivv 1622 . 2  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  A. r A. s A. t ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  ->  s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) r )  /\  ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  /\  s
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) t )  ->  r
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) t ) ) )
83 dfer2 6677 . 2  |-  ( ( 
.<_  i^i  `'  .<_  )  Er 
dom  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  <->  ( Rel  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  /\  dom  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  =  dom  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  /\  A. r A. s A. t ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  ->  s (  .<_  i^i  `'  .<_  ) r )  /\  ( ( r (  .<_  i^i  `'  .<_  ) s  /\  s
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) t )  ->  r
(  .<_  i^i  `'  .<_  ) t ) ) ) )
845, 6, 82, 83syl3anbrc 1136 1  |-  ( A. a A. b A. c
( ( a  .<_  b  /\  b  .<_  c )  ->  a  .<_  c )  ->  (  .<_  i^i  `'  .<_  )  Er  dom  (  .<_  i^i  `'  .<_  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    i^i cin 3164    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   Rel wrel 4710    Er wer 6673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-er 6676
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