MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Unicode version

Theorem trfbas 17539
Description: Conditions for the trace of a filter base  F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, F
Allowed substitution hint:    Y( v)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 17538 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )
2 elfvdm 5554 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
3 ssexg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  A  e.  _V )
43ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
52, 4sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
6 elrest 13332 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  ( (/) 
e.  ( Ft  A )  <->  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
75, 6syldan 456 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Ft  A )  <->  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
87notbid 285 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  (/)  e.  ( Ft  A )  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) ) )
9 necom 2527 . . . . . 6  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  ( v  i^i  A ) )
10 df-ne 2448 . . . . . 6  |-  ( (/)  =/=  ( v  i^i  A
)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
119, 10bitri 240 . . . . 5  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
1211ralbii 2567 . . . 4  |-  ( A. v  e.  F  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  F  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
13 ralnex 2553 . . . 4  |-  ( A. v  e.  F  -.  (/)  =  ( v  i^i 
A )  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
1412, 13bitri 240 . . 3  |-  ( A. v  e.  F  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
158, 14syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  (/)  e.  ( Ft  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
161, 15bitrd 244 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   fBascfbas 17518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-fbas 17520
  Copyright terms: Public domain W3C validator