MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Structured version   Unicode version

Theorem trfbas 17866
Description: Conditions for the trace of a filter base  F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, F
Allowed substitution hint:    Y( v)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 17865 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )
2 elfvdm 5749 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
3 ssexg 4341 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  A  e.  _V )
43ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
52, 4sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
6 elrest 13645 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  ( (/) 
e.  ( Ft  A )  <->  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
75, 6syldan 457 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Ft  A )  <->  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
87notbid 286 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  (/)  e.  ( Ft  A )  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) ) )
9 necom 2679 . . . . . 6  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  ( v  i^i  A ) )
10 df-ne 2600 . . . . . 6  |-  ( (/)  =/=  ( v  i^i  A
)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
119, 10bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
1211ralbii 2721 . . . 4  |-  ( A. v  e.  F  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  F  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
13 ralnex 2707 . . . 4  |-  ( A. v  e.  F  -.  (/)  =  ( v  i^i 
A )  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
1412, 13bitri 241 . . 3  |-  ( A. v  e.  F  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
158, 14syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  (/)  e.  ( Ft  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
161, 15bitrd 245 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   dom cdm 4870   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13638   fBascfbas 16679
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-rest 13640  df-fbas 16689
  Copyright terms: Public domain W3C validator