MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Unicode version

Theorem trfbas 17799
Description: Conditions for the trace of a filter base  F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A )  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    v, A    v, F
Allowed substitution hint:    Y( v)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 17798 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )
2 elfvdm 5699 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
3 ssexg 4292 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  A  e.  _V )
43ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
52, 4sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
6 elrest 13584 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  ( (/) 
e.  ( Ft  A )  <->  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
75, 6syldan 457 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( (/) 
e.  ( Ft  A )  <->  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i 
A ) ) )
87notbid 286 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  (/)  e.  ( Ft  A )  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) ) )
9 necom 2633 . . . . . 6  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  (/)  =/=  ( v  i^i  A ) )
10 df-ne 2554 . . . . . 6  |-  ( (/)  =/=  ( v  i^i  A
)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
119, 10bitri 241 . . . . 5  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
1211ralbii 2675 . . . 4  |-  ( A. v  e.  F  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  A. v  e.  F  -.  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
13 ralnex 2661 . . . 4  |-  ( A. v  e.  F  -.  (/)  =  ( v  i^i 
A )  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
1412, 13bitri 241 . . 3  |-  ( A. v  e.  F  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  F  (/)  =  ( v  i^i  A ) )
158, 14syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  (/)  e.  ( Ft  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
161, 15bitrd 245 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  A. v  e.  F  ( v  i^i  A )  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652   _Vcvv 2901    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   dom cdm 4820   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ↾t crest 13577   fBascfbas 16617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-rest 13579  df-fbas 16625
  Copyright terms: Public domain W3C validator