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Theorem trfbas2 17554
Description: Conditions for the trace of a filter base  F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )

Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5570 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
2 ssexg 4176 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  A  e.  _V )
32ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
41, 3sylan 457 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
5 restsspw 13352 . . . 4  |-  ( Ft  A )  C_  ~P A
65a1i 10 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Ft  A )  C_  ~P A )
7 fbasne0 17541 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  =/=  (/) )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  F  =/=  (/) )
9 n0 3477 . . . . 5  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
108, 9sylib 188 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  E. x  x  e.  F )
11 elrestr 13349 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Ft  A ) )
12113expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  F  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A ) ) )
134, 12syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  F  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A ) ) )
14 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ( Ft  A )  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) )
1513, 14syl6 29 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  F  -> 
( Ft  A )  =/=  (/) ) )
1615exlimdv 1626 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) ) )
1710, 16mpd 14 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) )
18 fbasssin 17547 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
z  i^i  w )
)
19183expb 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
z  e.  F  /\  w  e.  F )
)  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
z  i^i  w )
)
2019adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  ( z  i^i  w ) )
21 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  Y )
)
224ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  A  e.  _V )
23 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  x  e.  F )
2421, 22, 23, 11syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  e.  ( Ft  A ) )
25 ssrin 3407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
x  i^i  A )  C_  ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )
2625ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  C_  (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
27 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
2827inex1 4171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2928elpw 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A )  <->  ( x  i^i  A )  C_  (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
3026, 29sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  e.  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )
31 inelcm 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A )  /\  ( x  i^i  A )  e. 
~P ( ( z  i^i  w )  i^i 
A ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) )
3224, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) )
3332expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  x  e.  F )  ->  ( x  C_  (
z  i^i  w )  ->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) ) )
3433rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  -> 
( E. x  e.  F  x  C_  (
z  i^i  w )  ->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) ) )
3520, 34mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) )
3635ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. z  e.  F  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) )
37 vex 2804 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
3837inex1 4171 . . . . . 6  |-  ( z  i^i  A )  e. 
_V
3938a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  z  e.  F
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  _V )
40 elrest 13348 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  ( Ft  A )  <->  E. z  e.  F  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
414, 40syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( Ft  A )  <->  E. z  e.  F  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
42 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
4342inex1 4171 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  A )  e. 
_V
4443a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  w  e.  F )  ->  (
w  i^i  A )  e.  _V )
45 elrest 13348 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
464, 45syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
4746adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  =  ( z  i^i  A ) )  ->  ( y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
48 ineq12 3378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  A )  i^i  ( w  i^i 
A ) ) )
49 inindir 3400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  w )  i^i  A )  =  ( ( z  i^i 
A )  i^i  (
w  i^i  A )
)
5048, 49syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )
5150pweqd 3643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  ->  ~P ( x  i^i  y
)  =  ~P (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
5251ineq2d 3383 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  =  ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
) )
5352neeq1d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5453adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( w  i^i 
A ) )  -> 
( ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5544, 47, 54ralxfr2d 4566 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  =  ( z  i^i  A ) )  ->  ( A. y  e.  ( Ft  A
) ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5639, 41, 55ralxfr2d 4566 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5736, 56mpbird 223 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )
58 isfbas 17540 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( Ft  A )  C_  ~P A  /\  ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) ) ) )
5958baibd 875 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) ) )
60 3anan32 946 . . . . 5  |-  ( ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  <->  ( (
( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  /\  (/) 
e/  ( Ft  A ) ) )
6159, 60syl6bb 252 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  /\  (/) 
e/  ( Ft  A ) ) ) )
6261baibd 875 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  /\  (
( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) )  ->  ( ( Ft  A )  e.  ( fBas `  A )  <->  (/)  e/  ( Ft  A ) ) )
634, 6, 17, 57, 62syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  (/)  e/  ( Ft  A ) ) )
64 df-nel 2462 . 2  |-  ( (/)  e/  ( Ft  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) )
6563, 64syl6bb 252 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   fBascfbas 17534
This theorem is referenced by:  trfbas  17555  uzfbas  17609
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rest 13343  df-fbas 17536
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