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Theorem trfbas2 17877
Description: Conditions for the trace of a filter base  F to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )

Proof of Theorem trfbas2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5759 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
2 ssexg 4351 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  fBas )  ->  A  e.  _V )
32ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
41, 3sylan 459 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
5 restsspw 13661 . . . 4  |-  ( Ft  A )  C_  ~P A
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Ft  A )  C_  ~P A )
7 fbasne0 17864 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  =/=  (/) )
87adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  F  =/=  (/) )
9 n0 3639 . . . . 5  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
108, 9sylib 190 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  E. x  x  e.  F )
11 elrestr 13658 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Ft  A ) )
12113expia 1156 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  F  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A ) ) )
134, 12syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  F  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A ) ) )
14 ne0i 3636 . . . . . 6  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ( Ft  A )  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) )
1513, 14syl6 32 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  F  -> 
( Ft  A )  =/=  (/) ) )
1615exlimdv 1647 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) ) )
1710, 16mpd 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Ft  A )  =/=  (/) )
18 fbasssin 17870 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
z  i^i  w )
)
19183expb 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  (
z  e.  F  /\  w  e.  F )
)  ->  E. x  e.  F  x  C_  (
z  i^i  w )
)
2019adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  ->  E. x  e.  F  x  C_  ( z  i^i  w ) )
21 simplll 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  F  e.  ( fBas `  Y )
)
224ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  A  e.  _V )
23 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  x  e.  F )
2421, 22, 23, 11syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  e.  ( Ft  A ) )
25 ssrin 3568 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
x  i^i  A )  C_  ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )
2625ad2antll 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  C_  (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
27 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2827inex1 4346 . . . . . . . . 9  |-  ( x  i^i  A )  e. 
_V
2928elpw 3807 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  i^i  A )  e.  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A )  <->  ( x  i^i  A )  C_  (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
3026, 29sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( x  i^i  A )  e.  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )
31 inelcm 3684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  i^i  A
)  e.  ( Ft  A )  /\  ( x  i^i  A )  e. 
~P ( ( z  i^i  w )  i^i 
A ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) )
3224, 30, 31syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  /\  ( x  e.  F  /\  x  C_  ( z  i^i  w ) ) )  ->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) )
3320, 32rexlimddv 2836 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( z  e.  F  /\  w  e.  F ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )  =/=  (/) )
3433ralrimivva 2800 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. z  e.  F  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) )
35 vex 2961 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
3635inex1 4346 . . . . . 6  |-  ( z  i^i  A )  e. 
_V
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  z  e.  F
)  ->  ( z  i^i  A )  e.  _V )
38 elrest 13657 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  ( Ft  A )  <->  E. z  e.  F  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
394, 38syldan 458 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  ( Ft  A )  <->  E. z  e.  F  x  =  ( z  i^i  A ) ) )
40 vex 2961 . . . . . . . 8  |-  w  e. 
_V
4140inex1 4346 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  A )  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  w  e.  F )  ->  (
w  i^i  A )  e.  _V )
43 elrest 13657 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
444, 43syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
4544adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  =  ( z  i^i  A ) )  ->  ( y  e.  ( Ft  A )  <->  E. w  e.  F  y  =  ( w  i^i  A ) ) )
46 ineq12 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  A )  i^i  ( w  i^i 
A ) ) )
47 inindir 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  i^i  w )  i^i  A )  =  ( ( z  i^i 
A )  i^i  (
w  i^i  A )
)
4846, 47syl6eqr 2488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( ( z  i^i  w )  i^i  A ) )
4948pweqd 3806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  ->  ~P ( x  i^i  y
)  =  ~P (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
)
5049ineq2d 3544 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y ) )  =  ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
( z  i^i  w
)  i^i  A )
) )
5150neeq1d 2616 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( z  i^i  A )  /\  y  =  ( w  i^i  A ) )  -> 
( ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5251adantll 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  Y
)  /\  A  C_  Y
)  /\  x  =  ( z  i^i  A
) )  /\  y  =  ( w  i^i 
A ) )  -> 
( ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5342, 45, 52ralxfr2d 4741 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  =  ( z  i^i  A ) )  ->  ( A. y  e.  ( Ft  A
) ( ( Ft  A )  i^i  ~P (
x  i^i  y )
)  =/=  (/)  <->  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5437, 39, 53ralxfr2d 4741 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/)  <->  A. z  e.  F  A. w  e.  F  ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( ( z  i^i  w )  i^i  A
) )  =/=  (/) ) )
5534, 54mpbird 225 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )
56 isfbas 17863 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( Ft  A )  C_  ~P A  /\  ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) ) ) )
5756baibd 877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) ) )
58 3anan32 949 . . . . 5  |-  ( ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  (/)  e/  ( Ft  A )  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  <->  ( (
( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  /\  (/) 
e/  ( Ft  A ) ) )
5957, 58syl6bb 254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  ( ( ( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A ) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) )  /\  (/) 
e/  ( Ft  A ) ) ) )
6059baibd 877 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  ( Ft  A )  C_  ~P A )  /\  (
( Ft  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( Ft  A
) A. y  e.  ( Ft  A ) ( ( Ft  A )  i^i  ~P ( x  i^i  y
) )  =/=  (/) ) )  ->  ( ( Ft  A )  e.  ( fBas `  A )  <->  (/)  e/  ( Ft  A ) ) )
614, 6, 17, 55, 60syl22anc 1186 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  (/)  e/  ( Ft  A ) ) )
62 df-nel 2604 . 2  |-  ( (/)  e/  ( Ft  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) )
6361, 62syl6bb 254 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Ft  A )  e.  (
fBas `  A )  <->  -.  (/)  e.  ( Ft  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    e/ wnel 2602   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650   fBascfbas 16691
This theorem is referenced by:  trfbas  17878  uzfbas  17932  trcfilu  18326
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-rest 13652  df-fbas 16701
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