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Theorem trfg 17602
Description: The trace operation and the  filGen operation are inverses to one another in some sense, with  filGen growing the base set and ↾t shrinking it. See fgtr 17601 for the converse cancellation law. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )

Proof of Theorem trfg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 17559 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  e.  ( fBas `  A )
)
213ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  A
) )
3 filsspw 17562 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  F  C_  ~P A )
433ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P A )
5 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  C_  X )
6 sspwb 4239 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ~P A  C_ 
~P X )
75, 6sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ~P A  C_  ~P X )
84, 7sstrd 3202 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_ 
~P X )
9 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  X  e.  V )
10 fbasweak 17576 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  A )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
112, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcl 17589 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
14 filtop 17566 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  A
)  ->  A  e.  F )
15143ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  A  e.  F )
16 restval 13347 . . . 4  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
1713, 15, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  ran  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) )
18 elfg 17582 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
1911, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  <->  ( x  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  x ) ) )
2019simplbda 607 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  F  y  C_  x )
21 simpll1 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  ->  F  e.  ( Fil `  A ) )
22 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  e.  F )
23 inss2 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  A )  C_  A
2423a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  C_  A )
25 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  x )
26 filelss 17563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
27263ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  A )
2827ad2ant2r 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  A )
2925, 28ssind 3406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
y  C_  ( x  i^i  A ) )
30 filss 17564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  (
y  e.  F  /\  ( x  i^i  A ) 
C_  A  /\  y  C_  ( x  i^i  A
) ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3121, 22, 24, 29, 30syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  ( y  e.  F  /\  y  C_  x ) )  -> 
( x  i^i  A
)  e.  F )
3231expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  e.  ( Fil `  A
)  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  /\  y  e.  F
)  ->  ( y  C_  x  ->  ( x  i^i  A )  e.  F
) )
3332rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  x  ->  ( x  i^i 
A )  e.  F
) )
3420, 33mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  F
)
35 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i 
A ) )  =  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )
3634, 35fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F )
37 frn 5411 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( X
filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) ) : ( X filGen F ) --> F  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3836, 37syl 15 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  ran  ( x  e.  ( X filGen F )  |->  ( x  i^i  A ) )  C_  F )
3917, 38eqsstrd 3225 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  C_  F )
40 filelss 17563 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
41403ad2antl1 1117 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  A )
42 df-ss 3179 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
4341, 42sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  =  x )
4413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
4515adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  A  e.  F )
46 ssfg 17583 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4711, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
4847sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( X filGen F ) )
49 elrestr 13349 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A  e.  F  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( x  i^i 
A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
5044, 45, 48, 49syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
5143, 50eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V
)  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) )
5251ex 423 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( ( X filGen F )t  A ) ) )
5352ssrdv 3198 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  F  C_  ( ( X filGen F )t  A ) )
5439, 53eqssd 3209 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  A )  /\  A  C_  X  /\  X  e.  V )  ->  (
( X filGen F )t  A )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556
This theorem is referenced by:  cmetss  18756  minveclem4a  18810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-rest 13343  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557
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