MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil1 Unicode version

Theorem trfil1 17597
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  =  U. ( Lt  A ) )

Proof of Theorem trfil1
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_  Y )
2 dfss1 3386 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
4 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
5 id 19 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
6 filtop 17566 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  L )
7 ssexg 4176 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  L )  ->  A  e.  _V )
85, 6, 7syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
96adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Y  e.  L )
10 elrestr 13349 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  Y  e.  L )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
123, 11eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  ( Lt  A ) )
13 elssuni 3871 . . 3  |-  ( A  e.  ( Lt  A )  ->  A  C_  U. ( Lt  A ) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_ 
U. ( Lt  A ) )
15 restsspw 13352 . . . 4  |-  ( Lt  A )  C_  ~P A
16 sspwuni 4003 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Lt  A ) 
C_  A )
1715, 16mpbi 199 . . 3  |-  U. ( Lt  A )  C_  A
1817a1i 10 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  U. ( Lt  A )  C_  A
)
1914, 18eqssd 3209 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  =  U. ( Lt  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Filcfil 17556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rest 13343  df-fbas 17536  df-fil 17557
  Copyright terms: Public domain W3C validator