MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil1 Unicode version

Theorem trfil1 17581
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  =  U. ( Lt  A ) )

Proof of Theorem trfil1
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_  Y )
2 dfss1 3373 . . . . 5  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
4 simpl 443 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  L  e.  ( Fil `  Y
) )
5 id 19 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
6 filtop 17550 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  L )
7 ssexg 4160 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  L )  ->  A  e.  _V )
85, 6, 7syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
96adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  Y  e.  L )
10 elrestr 13333 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  Y  e.  L )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
114, 8, 9, 10syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( Y  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
123, 11eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  ( Lt  A ) )
13 elssuni 3855 . . 3  |-  ( A  e.  ( Lt  A )  ->  A  C_  U. ( Lt  A ) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  C_ 
U. ( Lt  A ) )
15 restsspw 13336 . . . 4  |-  ( Lt  A )  C_  ~P A
16 sspwuni 3987 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  C_  ~P A 
<-> 
U. ( Lt  A ) 
C_  A )
1715, 16mpbi 199 . . 3  |-  U. ( Lt  A )  C_  A
1817a1i 10 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  U. ( Lt  A )  C_  A
)
1914, 18eqssd 3196 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  =  U. ( Lt  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Filcfil 17540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-fbas 17520  df-fil 17541
  Copyright terms: Public domain W3C validator