MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Unicode version

Theorem trfil3 17599
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 17598 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
2 dfral2 2568 . . 3  |-  ( A. v  e.  L  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  L  -.  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )
3 nne 2463 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( v  i^i  A )  =  (/) )
4 filelss 17563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  v  C_  Y )
5 reldisj 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  Y  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
73, 6syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
87rexbidva 2573 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
10 difss 3316 . . . . . . 7  |-  ( Y 
\  A )  C_  Y
1110a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  ( Y  \  A )  C_  Y )
12 elfilss 17587 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( Y  \  A )  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
1311, 12sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
149, 13bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( Y  \  A )  e.  L
) )
1514notbid 285 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
162, 15syl5bb 248 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
171, 16bitrd 244 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Filcfil 17556
This theorem is referenced by:  fgtr  17601  trufil  17621  flimrest  17694  fclsrest  17735  cfilres  18738  relcmpcmet  18758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rest 13343  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557
  Copyright terms: Public domain W3C validator