MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Structured version   Unicode version

Theorem trfil3 17920
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 17919 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
2 dfral2 2717 . . 3  |-  ( A. v  e.  L  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  L  -.  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )
3 nne 2605 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( v  i^i  A )  =  (/) )
4 filelss 17884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  v  C_  Y )
5 reldisj 3671 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  Y  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
73, 6syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
87rexbidva 2722 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
10 difssd 3475 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  ( Y  \  A )  C_  Y )
11 elfilss 17908 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( Y  \  A )  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
1210, 11sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
139, 12bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( Y  \  A )  e.  L
) )
1413notbid 286 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
152, 14syl5bb 249 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
161, 15bitrd 245 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648   Filcfil 17877
This theorem is referenced by:  fgtr  17922  trufil  17942  flimrest  18015  fclsrest  18056  cfilres  19249  relcmpcmet  19269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-rest 13650  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-fil 17878
  Copyright terms: Public domain W3C validator