MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Unicode version

Theorem trfil3 17583
Description: Conditions for the trace of a filter  L to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 17582 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/) ) )
2 dfral2 2555 . . 3  |-  ( A. v  e.  L  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  -.  E. v  e.  L  -.  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )
3 nne 2450 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( v  i^i  A )  =  (/) )
4 filelss 17547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  v  C_  Y )
5 reldisj 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( v 
C_  Y  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
64, 5syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  (
( v  i^i  A
)  =  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
73, 6syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  v  e.  L )  ->  ( -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
87rexbidva 2560 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
10 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( Y 
\  A )  C_  Y
1110a1i 10 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  Y  ->  ( Y  \  A )  C_  Y )
12 elfilss 17571 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( Y  \  A )  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
1311, 12sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Y  \  A
)  e.  L  <->  E. v  e.  L  v  C_  ( Y  \  A ) ) )
149, 13bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  ( Y  \  A )  e.  L
) )
1514notbid 285 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  E. v  e.  L  -.  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
162, 15syl5bb 248 . 2  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( A. v  e.  L  ( v  i^i  A
)  =/=  (/)  <->  -.  ( Y  \  A )  e.  L ) )
171, 16bitrd 244 1  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Filcfil 17540
This theorem is referenced by:  fgtr  17585  trufil  17605  flimrest  17678  fclsrest  17719  cfilres  18722  relcmpcmet  18742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rest 13327  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541
  Copyright terms: Public domain W3C validator