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Theorem trin2 5249
Description: The intersection of two transitive classes is transitive. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)
Assertion
Ref Expression
trin2  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  ( ( R  i^i  S )  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S ) )

Proof of Theorem trin2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cotr 5238 . . . 4  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  <->  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
2 cotr 5238 . . . . . 6  |-  ( ( S  o.  S ) 
C_  S  <->  A. x A. y A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z ) )
3 brin 4251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x ( R  i^i  S
) y  <->  ( x R y  /\  x S y ) )
4 brin 4251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( R  i^i  S
) z  <->  ( y R z  /\  y S z ) )
5 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
6 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z ) )
75, 6anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  ( x S y  /\  y S z ) )  ->  (
x R z  /\  x S z ) ) )
87com12 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  ( x S y  /\  y S z ) )  ->  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
98an4s 800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x R y  /\  x S y )  /\  ( y R z  /\  y S z ) )  ->  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S
z )  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
103, 4, 9syl2anb 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  -> 
( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( x R z  /\  x S z ) ) )
1110com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  -> 
( x R z  /\  x S z ) ) )
12 brin 4251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x ( R  i^i  S
) z  <->  ( x R z  /\  x S z ) )
1311, 12syl6ibr 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1413alanimi 1571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. z ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1514alanimi 1571 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y A. z
( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )  ->  A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S ) y  /\  y ( R  i^i  S ) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1615alanimi 1571 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x A. y A. z ( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  /\  A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
1716ex 424 . . . . . 6  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x S y  /\  y S z )  ->  x S z )  -> 
( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
182, 17sylbi 188 . . . . 5  |-  ( ( S  o.  S ) 
C_  S  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
1918com12 29 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z )  -> 
( ( S  o.  S )  C_  S  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
201, 19sylbi 188 . . 3  |-  ( ( R  o.  R ) 
C_  R  ->  (
( S  o.  S
)  C_  S  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) ) )
2120imp 419 . 2  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
22 cotr 5238 . 2  |-  ( ( ( R  i^i  S
)  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S )  <->  A. x A. y A. z ( ( x ( R  i^i  S
) y  /\  y
( R  i^i  S
) z )  ->  x ( R  i^i  S ) z ) )
2321, 22sylibr 204 1  |-  ( ( ( R  o.  R
)  C_  R  /\  ( S  o.  S
)  C_  S )  ->  ( ( R  i^i  S )  o.  ( R  i^i  S ) ) 
C_  ( R  i^i  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1549    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    o. ccom 4874
This theorem is referenced by:  trinxp  5251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-rel 4877  df-co 4879
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