MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trint Unicode version

Theorem trint 4128
Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trint  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem trint
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr3 4117 . . . . . 6  |-  ( Tr  x  <->  A. y  e.  x  y  C_  x )
21ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
32biimpi 186 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x )
4 df-ral 2548 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
54ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
6 ralcom4 2806 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )
)
75, 6bitri 240 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  C_  x  <->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
83, 7sylib 188 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x ) )
9 ralim 2614 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  (
y  e.  x  -> 
y  C_  x )  ->  ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
109alimi 1546 . . 3  |-  ( A. y A. x  e.  A  ( y  e.  x  ->  y  C_  x )  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
118, 10syl 15 . 2  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  A. y ( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
12 dftr3 4117 . . 3  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y  e.  |^| A y  C_  |^| A )
13 df-ral 2548 . . . 4  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A
) )
14 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1514elint2 3869 . . . . . 6  |-  ( y  e.  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  e.  x )
16 ssint 3878 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  |^| A  <->  A. x  e.  A  y  C_  x )
1715, 16imbi12i 316 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  |^| A  ->  y  C_  |^| A )  <-> 
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1817albii 1553 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e. 
|^| A  ->  y  C_ 
|^| A )  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
1913, 18bitri 240 . . 3  |-  ( A. y  e.  |^| A y 
C_  |^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2012, 19bitri 240 . 2  |-  ( Tr 
|^| A  <->  A. y
( A. x  e.  A  y  e.  x  ->  A. x  e.  A  y  C_  x ) )
2111, 20sylibr 203 1  |-  ( A. x  e.  A  Tr  x  ->  Tr  |^| A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4   A.wal 1527    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   |^|cint 3862   Tr wtr 4113
This theorem is referenced by:  tctr  7425  intwun  8357  intgru  8436  dfon2lem8  24146
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-v 2790  df-in 3159  df-ss 3166  df-uni 3828  df-int 3863  df-tr 4114
  Copyright terms: Public domain W3C validator