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Theorem trireciplem 12646
Description: Lemma for trirecip 12647. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
trireciplem  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10526 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10316 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 9053 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
54a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
6 divcnv 12638 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
8 nnex 10011 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
98mptex 5969 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
109a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  _V )
118mptex 5969 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  e.  _V
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  e.  _V )
13 peano2nn 10017 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1413adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
15 oveq2 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
16 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
17 ovex 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
_V
1815, 16, 17fvmpt 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
1914, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2120oveq2d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
22 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
2321, 22, 17fvmpt 5809 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2519, 24eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )
261, 3, 3, 10, 12, 25climshft2 12381 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 ) )
277, 26mpbird 225 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  ~~>  0 )
28 seqex 11330 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
2928a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
3014nnrecred 10050 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
3130recnd 9119 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3224, 31eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  e.  CC )
3324oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )
34 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
3534adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
3635nncnd 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
37 peano2cn 9243 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
39 peano2nn 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4035, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4135, 40nnmulcld 10052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4241nncnd 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4341nnne0d 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4438, 36, 42, 43divsubdird 9834 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
45 pncan2 9317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  j
)  =  1 )
4636, 4, 45sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  -  j )  =  1 )
4746oveq1d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
4838mulid1d 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  1 )  =  ( j  +  1 ) )
4938, 36mulcomd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  j )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
5048, 49oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( ( j  +  1 )  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  1  e.  CC )
5235nnne0d 10049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  =/=  0 )
5340nnne0d 10049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
5451, 36, 38, 52, 53divcan5d 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5550, 54eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5636mulid1d 9110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  1 )  =  j )
5756oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( j  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
5851, 38, 36, 53, 52divcan5d 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5957, 58eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
6055, 59oveq12d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6144, 47, 603eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6261sumeq2dv 12502 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) ( ( 1  /  j
)  -  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
63 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
64 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
65 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
664div1i 9747 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6765, 66syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  1 )
68 nnz 10308 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
6968adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
7014, 1syl6eleq 2528 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
71 elfznn 11085 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
7271adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
7372nnrecred 10050 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
7473recnd 9119 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  CC )
7563, 64, 67, 15, 69, 70, 74fsumtscop 12588 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
7662, 75eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
77 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  n  =  j )
78 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
7977, 78oveq12d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
8079oveq2d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
81 trireciplem.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
82 ovex 6109 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e. 
_V
8380, 81, 82fvmpt 5809 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
8435, 83syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
85 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
8685, 1syl6eleq 2528 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8741nnrecred 10050 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8887recnd 9119 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
8984, 86, 88fsumser 12529 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) )
9033, 76, 893eqtr2rd 2477 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( 1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k ) ) )
911, 3, 27, 5, 29, 32, 90climsubc2 12437 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  0 ) )
9291trud 1333 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( 1  -  0 )
934subid1i 9377 . 2  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9492, 93breqtri 4238 1  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    seq cseq 11328    ~~> cli 12283   sum_csu 12484
This theorem is referenced by:  trirecip  12647  stirlinglem12  27824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485
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