Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trireciplem Structured version   Unicode version

Theorem trireciplem 12646
 Description: Lemma for trirecip 12647. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1
Assertion
Ref Expression
trireciplem

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10526 . . . 4
2 1z 10316 . . . . 5
32a1i 11 . . . 4
4 ax-1cn 9053 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
6 divcnv 12638 . . . . . 6
75, 6syl 16 . . . . 5
8 nnex 10011 . . . . . . . 8
98mptex 5969 . . . . . . 7
109a1i 11 . . . . . 6
118mptex 5969 . . . . . . 7
1211a1i 11 . . . . . 6
13 peano2nn 10017 . . . . . . . . 9
1413adantl 454 . . . . . . . 8
15 oveq2 6092 . . . . . . . . 9
16 eqid 2438 . . . . . . . . 9
17 ovex 6109 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17fvmpt 5809 . . . . . . . 8
1914, 18syl 16 . . . . . . 7
20 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10
2120oveq2d 6100 . . . . . . . . 9
22 eqid 2438 . . . . . . . . 9
2321, 22, 17fvmpt 5809 . . . . . . . 8
2423adantl 454 . . . . . . 7
2519, 24eqtr4d 2473 . . . . . 6
261, 3, 3, 10, 12, 25climshft2 12381 . . . . 5
277, 26mpbird 225 . . . 4
28 seqex 11330 . . . . 5
2928a1i 11 . . . 4
3014nnrecred 10050 . . . . . 6
3130recnd 9119 . . . . 5
3224, 31eqeltrd 2512 . . . 4
3324oveq2d 6100 . . . . 5
34 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . 12
3534adantl 454 . . . . . . . . . . 11
3635nncnd 10021 . . . . . . . . . 10
37 peano2cn 9243 . . . . . . . . . 10
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9
39 peano2nn 10017 . . . . . . . . . . . 12
4035, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11
4135, 40nnmulcld 10052 . . . . . . . . . 10
4241nncnd 10021 . . . . . . . . 9
4341nnne0d 10049 . . . . . . . . 9
4438, 36, 42, 43divsubdird 9834 . . . . . . . 8
45 pncan2 9317 . . . . . . . . . 10
4636, 4, 45sylancl 645 . . . . . . . . 9
4746oveq1d 6099 . . . . . . . 8
4838mulid1d 9110 . . . . . . . . . . 11
4938, 36mulcomd 9114 . . . . . . . . . . 11
5048, 49oveq12d 6102 . . . . . . . . . 10
514a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5235nnne0d 10049 . . . . . . . . . . 11
5340nnne0d 10049 . . . . . . . . . . 11
5451, 36, 38, 52, 53divcan5d 9821 . . . . . . . . . 10
5550, 54eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9
5636mulid1d 9110 . . . . . . . . . . 11
5756oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10
5851, 38, 36, 53, 52divcan5d 9821 . . . . . . . . . 10
5957, 58eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9
6055, 59oveq12d 6102 . . . . . . . 8
6144, 47, 603eqtr3d 2478 . . . . . . 7
6261sumeq2dv 12502 . . . . . 6
63 oveq2 6092 . . . . . . 7
64 oveq2 6092 . . . . . . 7
65 oveq2 6092 . . . . . . . 8
664div1i 9747 . . . . . . . 8
6765, 66syl6eq 2486 . . . . . . 7
68 nnz 10308 . . . . . . . 8
6968adantl 454 . . . . . . 7
7014, 1syl6eleq 2528 . . . . . . 7
71 elfznn 11085 . . . . . . . . . 10
7271adantl 454 . . . . . . . . 9
7372nnrecred 10050 . . . . . . . 8
7473recnd 9119 . . . . . . 7
7563, 64, 67, 15, 69, 70, 74fsumtscop 12588 . . . . . 6
7662, 75eqtrd 2470 . . . . 5
77 id 21 . . . . . . . . . 10
78 oveq1 6091 . . . . . . . . . 10
7977, 78oveq12d 6102 . . . . . . . . 9
8079oveq2d 6100 . . . . . . . 8
81 trireciplem.1 . . . . . . . 8
82 ovex 6109 . . . . . . . 8
8380, 81, 82fvmpt 5809 . . . . . . 7
8435, 83syl 16 . . . . . 6
85 simpr 449 . . . . . . 7
8685, 1syl6eleq 2528 . . . . . 6
8741nnrecred 10050 . . . . . . 7
8887recnd 9119 . . . . . 6
8984, 86, 88fsumser 12529 . . . . 5
9033, 76, 893eqtr2rd 2477 . . . 4
911, 3, 27, 5, 29, 32, 90climsubc2 12437 . . 3
9291trud 1333 . 2
934subid1i 9377 . 2
9492, 93breqtri 4238 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958   class class class wbr 4215   cmpt 4269  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000   cmin 9296   cdiv 9682  cn 10005  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048   cseq 11328   cli 12283  csu 12484 This theorem is referenced by:  trirecip  12647  stirlinglem12  27824 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485
 Copyright terms: Public domain W3C validator