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Theorem trireciplem 12320
Description: Lemma for trirecip 12321. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
trireciplem  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
54a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
6 divcnv 12312 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
8 nnex 9752 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
98mptex 5746 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
109a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  _V )
118mptex 5746 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  e.  _V
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  e.  _V )
13 peano2nn 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1413adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
15 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
16 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
17 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
_V
1815, 16, 17fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
1914, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
2321, 22, 17fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2519, 24eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )
261, 3, 3, 10, 12, 25climshft2 12056 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 ) )
277, 26mpbird 223 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  ~~>  0 )
28 seqex 11048 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
2928a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
3014nnrecred 9791 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
3130recnd 8861 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3224, 31eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  e.  CC )
3324oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )
34 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
3534adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
3635nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
37 peano2cn 8984 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
39 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4035, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4135, 40nnmulcld 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4241nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4341nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4438, 36, 42, 43divsubdird 9575 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
45 pncan2 9058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  j
)  =  1 )
4636, 4, 45sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  -  j )  =  1 )
4746oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
4838mulid1d 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  1 )  =  ( j  +  1 ) )
4938, 36mulcomd 8856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  j )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
5048, 49oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( ( j  +  1 )  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
514a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  1  e.  CC )
5235nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  =/=  0 )
5340nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
5451, 36, 38, 52, 53divcan5d 9562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5550, 54eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5636mulid1d 8852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  1 )  =  j )
5756oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( j  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
5851, 38, 36, 53, 52divcan5d 9562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5957, 58eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
6055, 59oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6144, 47, 603eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6261sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) ( ( 1  /  j
)  -  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
63 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
64 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
65 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
664div1i 9488 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6765, 66syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  1 )
68 nnz 10045 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
6968adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
7014, 1syl6eleq 2373 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
71 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
7271adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
7372nnrecred 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
7473recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  CC )
7563, 64, 67, 15, 69, 70, 74fsumtscop 12262 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
7662, 75eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
77 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  n  =  j )
78 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
7977, 78oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
8079oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
81 trireciplem.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
82 ovex 5883 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e. 
_V
8380, 81, 82fvmpt 5602 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
8435, 83syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
85 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
8685, 1syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8741nnrecred 9791 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8887recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
8984, 86, 88fsumser 12203 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) )
9033, 76, 893eqtr2rd 2322 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( 1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k ) ) )
911, 3, 27, 5, 29, 32, 90climsubc2 12112 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  0 ) )
9291trud 1314 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( 1  -  0 )
934subid1i 9118 . 2  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9492, 93breqtri 4046 1  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  trirecip  12321  stirlinglem12  27834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159
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