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Theorem trireciplem 12604
Description: Lemma for trirecip 12605. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
trireciplem  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10485 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10275 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 9012 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
54a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
6 divcnv 12596 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
8 nnex 9970 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
98mptex 5933 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
109a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  _V )
118mptex 5933 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  e.  _V
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  e.  _V )
13 peano2nn 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1413adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
15 oveq2 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
16 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
17 ovex 6073 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
_V
1815, 16, 17fvmpt 5773 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
1914, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2120oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
22 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
2321, 22, 17fvmpt 5773 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2423adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2519, 24eqtr4d 2447 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )
261, 3, 3, 10, 12, 25climshft2 12339 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 ) )
277, 26mpbird 224 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  ~~>  0 )
28 seqex 11288 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
2928a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
3014nnrecred 10009 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
3130recnd 9078 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3224, 31eqeltrd 2486 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  e.  CC )
3324oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )
34 elfznn 11044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
3534adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
3635nncnd 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
37 peano2cn 9202 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
39 peano2nn 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4035, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4135, 40nnmulcld 10011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4241nncnd 9980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4341nnne0d 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4438, 36, 42, 43divsubdird 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
45 pncan2 9276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  j
)  =  1 )
4636, 4, 45sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  -  j )  =  1 )
4746oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
4838mulid1d 9069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  1 )  =  ( j  +  1 ) )
4938, 36mulcomd 9073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  j )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
5048, 49oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( ( j  +  1 )  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  1  e.  CC )
5235nnne0d 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  =/=  0 )
5340nnne0d 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
5451, 36, 38, 52, 53divcan5d 9780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5550, 54eqtr3d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5636mulid1d 9069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  1 )  =  j )
5756oveq1d 6063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( j  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
5851, 38, 36, 53, 52divcan5d 9780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5957, 58eqtr3d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
6055, 59oveq12d 6066 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6144, 47, 603eqtr3d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6261sumeq2dv 12460 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) ( ( 1  /  j
)  -  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
63 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
64 oveq2 6056 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
65 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
664div1i 9706 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6765, 66syl6eq 2460 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  1 )
68 nnz 10267 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
6968adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
7014, 1syl6eleq 2502 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
71 elfznn 11044 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
7271adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
7372nnrecred 10009 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
7473recnd 9078 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  CC )
7563, 64, 67, 15, 69, 70, 74fsumtscop 12546 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
7662, 75eqtrd 2444 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
77 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  n  =  j )
78 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
7977, 78oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
8079oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
81 trireciplem.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
82 ovex 6073 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e. 
_V
8380, 81, 82fvmpt 5773 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
8435, 83syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
85 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
8685, 1syl6eleq 2502 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8741nnrecred 10009 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8887recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
8984, 86, 88fsumser 12487 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) )
9033, 76, 893eqtr2rd 2451 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( 1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k ) ) )
911, 3, 27, 5, 29, 32, 90climsubc2 12395 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  0 ) )
9291trud 1329 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( 1  -  0 )
934subid1i 9336 . 2  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9492, 93breqtri 4203 1  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007    seq cseq 11286    ~~> cli 12241   sum_csu 12442
This theorem is referenced by:  trirecip  12605  stirlinglem12  27709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443
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