MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trireciplem Unicode version

Theorem trireciplem 12417
Description: Lemma for trirecip 12418. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
trireciplem.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
trireciplem  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1

Proof of Theorem trireciplem
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10355 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10145 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 ax-1cn 8885 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
54a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
6 divcnv 12409 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
8 nnex 9842 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
98mptex 5832 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  e.  _V
109a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  e.  _V )
118mptex 5832 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  e.  _V
1211a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  e.  _V )
13 peano2nn 9848 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
1413adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
15 oveq2 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
16 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
17 ovex 5970 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
_V
1815, 16, 17fvmpt 5685 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
1914, 18syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
20 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2120oveq2d 5961 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  ( n  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
22 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )
2321, 22, 17fvmpt 5685 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2423adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  =  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) )
2519, 24eqtr4d 2393 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )
261, 3, 3, 10, 12, 25climshft2 12152 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( n  +  1 ) ) )  ~~>  0  <->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 ) )
277, 26mpbird 223 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) )  ~~>  0 )
28 seqex 11140 . . . . 5  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
2928a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
3014nnrecred 9881 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
3130recnd 8951 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
3224, 31eqeltrd 2432 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  +  1 ) ) ) `  k
)  e.  CC )
3324oveq2d 5961 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  +  1 ) ) ) `  k ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) ) )
34 elfznn 10911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( 1 ... k )  ->  j  e.  NN )
3534adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  NN )
3635nncnd 9852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  e.  CC )
37 peano2cn 9074 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  CC  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  CC )
39 peano2nn 9848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4035, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
4135, 40nnmulcld 9883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  NN )
4241nncnd 9852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  e.  CC )
4341nnne0d 9880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  ( j  +  1 ) )  =/=  0 )
4438, 36, 42, 43divsubdird 9665 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( ( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) ) ) )
45 pncan2 9148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( j  +  1 )  -  j
)  =  1 )
4636, 4, 45sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  -  j )  =  1 )
4746oveq1d 5960 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  -  j
)  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
4838mulid1d 8942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  1 )  =  ( j  +  1 ) )
4938, 36mulcomd 8946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  x.  j )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
5048, 49oveq12d 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( ( j  +  1 )  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
514a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  1  e.  CC )
5235nnne0d 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  j  =/=  0 )
5340nnne0d 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  +  1 )  =/=  0 )
5451, 36, 38, 52, 53divcan5d 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  x.  1 )  /  ( ( j  +  1 )  x.  j ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5550, 54eqtr3d 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  +  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
j ) )
5636mulid1d 8942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  x.  1 )  =  j )
5756oveq1d 5960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( j  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
5851, 38, 36, 53, 52divcan5d 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( j  x.  1 )  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
5957, 58eqtr3d 2392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
6055, 59oveq12d 5963 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  (
j  x.  ( j  +  1 ) ) )  -  ( j  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6144, 47, 603eqtr3d 2398 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) ) )
6261sumeq2dv 12273 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... k ) ( ( 1  /  j
)  -  ( 1  /  ( j  +  1 ) ) ) )
63 oveq2 5953 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
j ) )
64 oveq2 5953 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( j  +  1 ) ) )
65 oveq2 5953 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
1 ) )
664div1i 9578 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6765, 66syl6eq 2406 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  (
1  /  n )  =  1 )
68 nnz 10137 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
6968adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
7014, 1syl6eleq 2448 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
71 elfznn 10911 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  n  e.  NN )
7271adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
7372nnrecred 9881 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
7473recnd 8951 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  (
1  /  n )  e.  CC )
7563, 64, 67, 15, 69, 70, 74fsumtscop 12359 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( ( 1  /  j )  -  ( 1  /  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
7662, 75eqtrd 2390 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  ( k  +  1 ) ) ) )
77 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  n  =  j )
78 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
7977, 78oveq12d 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
n  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )
8079oveq2d 5961 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  ( n  x.  ( n  + 
1 ) ) )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
81 trireciplem.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
n  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
82 ovex 5970 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e. 
_V
8380, 81, 82fvmpt 5685 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
8435, 83syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  j )  =  ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) ) )
85 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
8685, 1syl6eleq 2448 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
8741nnrecred 9881 . . . . . . 7  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
8887recnd 8951 . . . . . 6  |-  ( ( (  T.  /\  k  e.  NN )  /\  j  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
1  /  ( j  x.  ( j  +  1 ) ) )  e.  CC )
8984, 86, 88fsumser 12300 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... k
) ( 1  / 
( j  x.  (
j  +  1 ) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k ) )
9033, 76, 893eqtr2rd 2397 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( 1  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( n  + 
1 ) ) ) `
 k ) ) )
911, 3, 27, 5, 29, 32, 90climsubc2 12208 . . 3  |-  (  T. 
->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( 1  -  0 ) )
9291trud 1323 . 2  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( 1  -  0 )
934subid1i 9208 . 2  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9492, 93breqtri 4127 1  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1316    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    - cmin 9127    / cdiv 9513   NNcn 9836   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874    seq cseq 11138    ~~> cli 12054   sum_csu 12255
This theorem is referenced by:  trirecip  12418  stirlinglem12  27157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256
  Copyright terms: Public domain W3C validator