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Theorem trirn 26566
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
trirn  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 csbrn.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 11287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
4 2re 9831 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
5 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
62, 5remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
7 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
93, 8readdcld 8878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
101, 9fsumrecl 12223 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
111, 3fsumrecl 12223 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
125resqcld 11287 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
131, 12fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
1411, 13remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
152sqge0d 11288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
161, 3, 15fsumge0 12269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( B ^
2 ) )
175sqge0d 11288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C ^ 2 ) )
181, 12, 17fsumge0 12269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C ^
2 ) )
1911, 13, 16, 18mulge0d 9365 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
2014, 19resqrcld 11916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
21 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
224, 20, 21sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
2311, 22readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
243recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
258recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
261, 24, 25fsumadd 12227 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  + 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )
271, 8fsumrecl 12223 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
28 2cn 9832 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2928a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
306recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
311, 29, 30fsummulc2 12262 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  =  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )
321, 6fsumrecl 12223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
3332recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
3433abscld 11934 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
3532leabsd 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
361, 2, 5csbrn 26565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
37 absresq 11803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
3832, 37syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
39 resqrth 11757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  ->  (
( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
4014, 19, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
4136, 38, 403brtr4d 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
4233absge0d 11942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
4314, 19sqrge0d 11919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4434, 20, 42, 43le2sqd 11296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4541, 44mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4632, 34, 20, 35, 45letrd 8989 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
474a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
48 2pos 9844 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
4948a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
50 lemul2 9625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5132, 20, 47, 49, 50syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5246, 51mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5331, 52eqbrtrrd 4061 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5427, 22, 11, 53leadd2dd 9403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5526, 54eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5610, 23, 13, 55leadd1dd 9402 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
572, 5readdcld 8878 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
5857resqcld 11287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  e.  RR )
591, 58fsumrecl 12223 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR )
6057sqge0d 11288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
611, 58, 60fsumge0 12269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^
2 ) )
62 resqrth 11757 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
6359, 61, 62syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
642recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
655recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
66 binom2 11234 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
6764, 65, 66syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
6867sumeq2dv 12192 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
699recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
7012recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
711, 69, 70fsumadd 12227 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7268, 71eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7363, 72eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7411, 16resqrcld 11916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
7574recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
7613, 18resqrcld 11916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
7776recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
78 binom2 11234 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7975, 77, 78syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
80 resqrth 11757 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8111, 16, 80syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8211, 16, 13, 18sqrmuld 11923 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8382eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8483oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8581, 84oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
86 resqrth 11757 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8713, 18, 86syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8885, 87oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
8979, 88eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
9056, 73, 893brtr4d 4069 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
9159, 61resqrcld 11916 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  e.  RR )
9274, 76readdcld 8878 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
9359, 61sqrge0d 11919 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) )
9411, 16sqrge0d 11919 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) )
9513, 18sqrge0d 11919 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
9674, 76, 94, 95addge0d 9364 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
9791, 92, 93, 96le2sqd 11296 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
9890, 97mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   2c2 9811   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   abscabs 11735   sum_csu 12174
This theorem is referenced by:  rrnmet  26656
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175
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