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Theorem trirn 26459
Description: Triangle inequality in R^n. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
csbrn.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
csbrn.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
csbrn.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
trirn  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem trirn
StepHypRef Expression
1 csbrn.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 csbrn.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 11551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
4 2re 10071 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
5 csbrn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
62, 5remulcld 9118 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  RR )
7 remulcl 9077 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( B  x.  C
) )  e.  RR )
84, 6, 7sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  RR )
93, 8readdcld 9117 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
101, 9fsumrecl 12530 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR )
111, 3fsumrecl 12530 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR )
125resqcld 11551 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  RR )
131, 12fsumrecl 12530 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
152sqge0d 11552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( B ^ 2 ) )
161, 3, 15fsumge0 12576 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( B ^
2 ) )
175sqge0d 11552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C ^ 2 ) )
181, 12, 17fsumge0 12576 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C ^
2 ) )
1911, 13, 16, 18mulge0d 9605 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
2014, 19resqrcld 12222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
21 remulcl 9077 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
224, 20, 21sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  RR )
2311, 22readdcld 9117 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  e.  RR )
243recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
258recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
2  x.  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
261, 24, 25fsumadd 12534 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  + 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) ) )
271, 8fsumrecl 12530 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
28 2cn 10072 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
306recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
311, 29, 30fsummulc2 12569 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  =  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )
321, 6fsumrecl 12530 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR )
3332recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  CC )
3433abscld 12240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  e.  RR )
3532leabsd 12219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
361, 2, 5csbrn 26458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ^ 2 )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
37 absresq 12109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  e.  RR  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
3832, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C ) ^ 2 ) )
39 resqrth 12063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  ->  (
( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
4014, 19, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
4136, 38, 403brtr4d 4244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
4233absge0d 12248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) )
4314, 19sqrge0d 12225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4434, 20, 42, 43le2sqd 11560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) ) ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4541, 44mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
4632, 34, 20, 35, 45letrd 9229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
474a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
48 2pos 10084 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
4948a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
50 lemul2 9865 . . . . . . . . 9  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5132, 20, 47, 49, 50syl112anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
)  <_  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C
) )  <_  (
2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5246, 51mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  sum_ k  e.  A  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5331, 52eqbrtrrd 4236 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
)  <_  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
5427, 22, 11, 53leadd2dd 9643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  sum_ k  e.  A  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5526, 54eqbrtrd 4234 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
5610, 23, 13, 55leadd1dd 9642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^
2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  <_  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
572, 5readdcld 9117 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
5857resqcld 11551 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  e.  RR )
591, 58fsumrecl 12530 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR )
6057sqge0d 11552 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
611, 58, 60fsumge0 12576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^
2 ) )
62 resqrth 12063 . . . . 5  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )  ->  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
6359, 61, 62syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) )
642recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
655recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
66 binom2 11498 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
6764, 65, 66syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B  +  C
) ^ 2 )  =  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
6867sumeq2dv 12499 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  ( C ^
2 ) ) )
699recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  e.  CC )
7012recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
711, 69, 70fsumadd 12534 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7268, 71eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  (
( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7363, 72eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  ( sum_ k  e.  A  ( ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( B  x.  C )
) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
7411, 16resqrcld 12222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
7574recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
7613, 18resqrcld 12222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
7776recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
78 binom2 11498 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
7975, 77, 78syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
80 resqrth 12063 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8111, 16, 80syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )
8211, 16, 13, 18sqrmuld 12229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8382eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
8483oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8581, 84oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
86 resqrth 12063 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_ 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  =  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8713, 18, 86syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 )  = 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) )
8885, 87oveq12d 6101 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  x.  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x. 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
8979, 88eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 )  =  ( (
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( sqr `  ( sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 )  x.  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  +  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
9056, 73, 893brtr4d 4244 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
9159, 61resqrcld 12222 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  e.  RR )
9274, 76readdcld 9117 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  e.  RR )
9359, 61sqrge0d 12225 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) )
9411, 16sqrge0d 12225 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) ) )
9513, 18sqrge0d 12225 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr ` 
sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )
9674, 76, 94, 95addge0d 9604 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
9791, 92, 93, 96le2sqd 11560 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) )  <->  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( ( B  +  C ) ^ 2 ) ) ^ 2 )  <_  ( (
( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
9890, 97mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( sqr `  sum_ k  e.  A  (
( B  +  C
) ^ 2 ) )  <_  ( ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( B ^ 2 ) )  +  ( sqr `  sum_ k  e.  A  ( C ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123   2c2 10051   ^cexp 11384   sqrcsqr 12040   abscabs 12041   sum_csu 12481
This theorem is referenced by:  rrnmet  26540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482
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