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Theorem trlcoabs2N 31420
Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlcoabs.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlcoabs.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlcoabs.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcoabs.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcoabs.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
3 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 trlcoabs.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 30844 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
71, 3, 6syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
84, 5ltrnco 31417 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
91, 2, 7, 8syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
10 trlcoabs.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 trlcoabs.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1210, 11, 4, 5ltrnel 30837 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
13123adant2r 1179 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
14 trlcoabs.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
16 trlcoabs.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 30861 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )
181, 9, 13, 17syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )
1918oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) ) )
20 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
21 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
2210, 11, 4, 5ltrnat 30838 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
231, 3, 21, 22syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
2410, 11, 4, 5ltrnat 30838 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( F `  P
)  e.  A )  ->  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) )  e.  A )
251, 9, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  e.  A )
26 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2726, 14, 11hlatjcl 30065 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  e.  A )  ->  ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
2820, 23, 25, 27syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
29 simp1r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
3026, 4lhpbase 30696 . . . 4  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3129, 30syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
3210, 14, 11hlatlej1 30073 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )
3320, 23, 25, 32syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 30562 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  e.  (
Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) ) )
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1197 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) ) ( meet `  K ) W ) )  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) ) )
3610, 11, 4, 5ltrncoval 30843 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
38 coass 5380 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( G  o.  ( `' F  o.  F
) )
3926, 4, 5ltrn1o 30822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
401, 3, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
41 f1ococnv1 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
4342coeq2d 5027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
4426, 4, 5ltrn1o 30822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
451, 2, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
46 f1of 5666 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
47 fcoi1 5609 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  G )
4845, 46, 473syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  G )
4943, 48eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  G )
5038, 49syl5eq 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  G )
5150fveq1d 5722 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P ) )
5237, 51eqtr3d 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  =  ( G `  P
) )
5352oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
54 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 30719 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( F `
 P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( F `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
561, 13, 55syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
5753, 56oveq12d 6091 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) ( meet `  K
) ( 1. `  K ) ) )
58 hlol 30060 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
5920, 58syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
6010, 11, 4, 5ltrnat 30838 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
611, 2, 21, 60syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
6226, 14, 11hlatjcl 30065 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
6320, 23, 61, 62syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
6426, 15, 54olm11 29926 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( F `
 P )  .\/  ( G `  P ) ) ( meet `  K
) ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
6559, 63, 64syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) (
meet `  K )
( 1. `  K
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
6657, 65eqtrd 2467 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) ( meet `  K
) ( ( F `
 P )  .\/  W ) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( G `  P ) ) )
6719, 35, 663eqtrd 2471 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( G `  P )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204    _I cid 4485   `'ccnv 4869    |` cres 4872    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   lecple 13526   joincjn 14391   meetcmee 14392   1.cp1 14457   OLcol 29873   Atomscatm 29962   HLchlt 30049   LHypclh 30682   LTrncltrn 30799   trLctrl 30856
This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  31619
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