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Theorem trlcoat 31209
Description: The trace of a composition of two translations is an atom if their traces are different. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlcoat.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcoat.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcoat.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcoat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )

Proof of Theorem trlcoat
StepHypRef Expression
1 trlcoat.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 trlcoat.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
31, 2ltrnco 31205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
433expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( F  o.  G
)  e.  T )
5 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
7 trlcoat.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
85, 6, 1, 2, 7trlid0b 30664 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  ( F  o.  G )
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
94, 8syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K ) ) )
10 coass 5351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
11 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F  e.  T
)
135, 1, 2ltrn1o 30610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
1411, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  F : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
15 f1ococnv1 5667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
1716coeq1d 4997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
18 coeq2 4994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
1918adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
2010, 17, 193eqtr3a 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
21 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  e.  T
)
225, 1, 2ltrn1o 30610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2311, 21, 22syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G : (
Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
24 f1of 5637 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
25 fcoi2 5581 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
2623, 24, 253syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
271, 2ltrncnv 30632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
2811, 12, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F  e.  T )
295, 1, 2ltrn1o 30610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T )  ->  `' F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )
)
3011, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  `' F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31 f1of 5637 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  ->  `' F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
) )
32 fcoi1 5580 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  =  `' F )
3330, 31, 323syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( `' F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  `' F
)
3420, 26, 333eqtr3d 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  G  =  `' F )
3534fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  `' F
) )
361, 2, 7trlcnv 30651 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3711, 12, 36syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3835, 37eqtr2d 2441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )
)  /\  ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
3938ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( F  o.  G )  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) ) )
409, 39sylbird 227 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( 0. `  K )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
4140necon3d 2609 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  =/=  ( 0.
`  K ) ) )
42 trlcoat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
436, 42, 1, 2, 7trlatn0 30658 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
444, 43syldan 457 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  A  <->  ( R `  ( F  o.  G ) )  =/=  ( 0. `  K ) ) )
4541, 44sylibrd 226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  ->  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  A ) )
46453impia 1150 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571    _I cid 4457   `'ccnv 4840    |` cres 4843    o. ccom 4845   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417   Basecbs 13428   0.cp0 14425   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587   trLctrl 30644
This theorem is referenced by:  trlcocnvat  31210  trlconid  31211  trljco  31226  cdlemh2  31302  cdlemh  31303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-map 6983  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645
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