Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcocnv Unicode version

Theorem trlcocnv 31531
Description: Swap the arguments of the trace of a composition with converse. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcocnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcocnv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcocnv.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcocnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )

Proof of Theorem trlcocnv
StepHypRef Expression
1 cnvco 4881 . . . 4  |-  `' ( F  o.  `' G
)  =  ( `' `' G  o.  `' F )
2 cocnvcnv1 5199 . . . 4  |-  ( `' `' G  o.  `' F )  =  ( G  o.  `' F
)
31, 2eqtri 2316 . . 3  |-  `' ( F  o.  `' G
)  =  ( G  o.  `' F )
43fveq2i 5544 . 2  |-  ( R `
 `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `
 ( G  o.  `' F ) )
5 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 trlcocnv.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 trlcocnv.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
86, 7ltrncnv 30957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
983adant2 974 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
106, 7ltrnco 31530 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
119, 10syld3an3 1227 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
12 trlcocnv.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
136, 7, 12trlcnv 30976 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  `' G )  e.  T
)  ->  ( R `  `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )
145, 11, 13syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )
154, 14syl5reqr 2343 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   `'ccnv 4704    o. ccom 4709   ` cfv 5271   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969
This theorem is referenced by:  cdlemk9bN  31651  cdlemk14  31665  cdlemk21N  31684  cdlemk20  31685  cdlemk22  31704  cdlemkfid1N  31732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970
  Copyright terms: Public domain W3C validator