Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcocnv Structured version   Unicode version

Theorem trlcocnv 31517
Description: Swap the arguments of the trace of a composition with converse. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcocnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcocnv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcocnv.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcocnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )

Proof of Theorem trlcocnv
StepHypRef Expression
1 cnvco 5056 . . . 4  |-  `' ( F  o.  `' G
)  =  ( `' `' G  o.  `' F )
2 cocnvcnv1 5380 . . . 4  |-  ( `' `' G  o.  `' F )  =  ( G  o.  `' F
)
31, 2eqtri 2456 . . 3  |-  `' ( F  o.  `' G
)  =  ( G  o.  `' F )
43fveq2i 5731 . 2  |-  ( R `
 `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `
 ( G  o.  `' F ) )
5 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 trlcocnv.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 trlcocnv.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
86, 7ltrncnv 30943 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
983adant2 976 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
106, 7ltrnco 31516 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
119, 10syld3an3 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  `' G )  e.  T
)
12 trlcocnv.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
136, 7, 12trlcnv 30962 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  `' G )  e.  T
)  ->  ( R `  `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )
145, 11, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  `' ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( F  o.  `' G
) ) )
154, 14syl5reqr 2483 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  `' G ) )  =  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   `'ccnv 4877    o. ccom 4882   ` cfv 5454   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955
This theorem is referenced by:  cdlemk9bN  31637  cdlemk14  31651  cdlemk21N  31670  cdlemk20  31671  cdlemk22  31690  cdlemkfid1N  31718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956
  Copyright terms: Public domain W3C validator