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Theorem trlcolem 30891
Description: Lemma for trlco 30892. (Contributed by NM, 1-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlco.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
trlcolem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
trlcolem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
trlcolem  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trlcolem
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 29529 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
6 trlcolem.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 29455 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
9 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
11 trlco.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 trlco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
13 trlco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
1411, 6, 12, 13ltrnat 30305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
159, 10, 4, 14syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
165, 6atbase 29455 . . . . . 6  |-  ( ( G `  P )  e.  A  ->  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)
18 trlco.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
195, 11, 18latlej1 14409 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
203, 8, 17, 19syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
215, 18, 6hlatjcl 29532 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  ( G `  P )  e.  A )  -> 
( P  .\/  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
221, 4, 15, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
23 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
245, 12, 13ltrncl 30290 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( F `  ( G `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
259, 23, 17, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
265, 11, 18latjlej1 14414 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
273, 8, 22, 25, 26syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
)  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
2820, 27mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
295, 18latjcl 14399 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  (
Base `  K )
)
303, 8, 25, 29syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
315, 18latjcl 14399 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
323, 22, 25, 31syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
33 simp1r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
345, 12lhpbase 30163 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
36 trlcolem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
375, 11, 36latmlem1 14430 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  e.  ( Base `  K )  /\  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) ) )
383, 30, 32, 35, 37syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ->  (
( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .<_  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
3928, 38mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .<_  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
4012, 13ltrnco 30884 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
419, 23, 10, 40syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
42 trlco.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4311, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 30328 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4441, 43syld3an2 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  (
( F  o.  G
) `  P )
)  ./\  W )
)
4511, 6, 12, 13ltrncoval 30310 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( F  o.  G
) `  P )  =  ( F `  ( G `  P ) ) )
46453adant3r 1181 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F  o.  G ) `  P )  =  ( F `  ( G `
 P ) ) )
4746oveq2d 6029 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P
) )  =  ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) )
4847oveq1d 6028 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( ( F  o.  G ) `  P ) )  ./\  W )  =  ( ( P  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
4944, 48eqtrd 2412 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5011, 6, 12, 13ltrnel 30304 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5110, 50syld3an2 1231 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
5211, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 30328 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
539, 23, 51, 52syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
5411, 18, 36, 6, 12, 13, 42trlval2 30328 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5510, 54syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  G )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )
)
5653, 55oveq12d 6031 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
) )
5711, 6, 12, 13ltrnat 30305 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
589, 23, 15, 57syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  ( G `  P
) )  e.  A
)
595, 18, 6hlatjcl 29532 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  e.  ( Base `  K
) )
601, 15, 58, 59syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
615, 36latmcl 14400 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
623, 60, 35, 61syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
635, 36latmcl 14400 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
643, 22, 35, 63syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
655, 18latjcom 14408 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
)  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
663, 62, 64, 65syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
) )
675, 18latjcl 14399 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
683, 17, 25, 67syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)
695, 11, 36latmle2 14426 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
703, 22, 35, 69syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )
715, 11, 18, 36, 12lhpmod6i1 30204 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P )
) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .<_  W )  ->  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `  P
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W ) )
729, 64, 68, 70, 71syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )
)
735, 18latjass 14444 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F `  ( G `  P
) )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
743, 64, 17, 25, 73syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) ) )
755, 11, 18latlej2 14410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( G `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
763, 8, 17, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
775, 11, 18, 36, 12lhpmod2i2 30203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  P )  e.  (
Base `  K )
)  /\  ( G `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  W )  .\/  ( G `  P ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( W  .\/  ( G `  P ) ) ) )
789, 22, 17, 76, 77syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( W  .\/  ( G `  P
) ) ) )
79 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
8011, 18, 79, 6, 12lhpjat1 30185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  ( G `  P )
)  =  ( 1.
`  K ) )
819, 51, 80syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( W  .\/  ( G `  P
) )  =  ( 1. `  K ) )
8281oveq2d 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( W  .\/  ( G `
 P ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
./\  ( 1. `  K ) ) )
83 hlol 29527 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
841, 83syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
855, 36, 79olm11 29393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( P  .\/  ( G `
 P ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P  .\/  ( G `  P )
) )
8684, 22, 85syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( P 
.\/  ( G `  P ) ) )
8778, 82, 863eqtrd 2416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  =  ( P  .\/  ( G `
 P ) ) )
8887oveq1d 6028 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( G `  P
) )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  =  ( ( P 
.\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) ) )
8974, 88eqtr3d 2414 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )
9089oveq1d 6028 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( ( P  .\/  ( G `  P ) )  ./\  W )  .\/  ( ( G `  P )  .\/  ( F `  ( G `  P ) ) ) )  ./\  W )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `
 P ) ) 
.\/  ( F `  ( G `  P ) ) )  ./\  W
) )
9172, 90eqtrd 2412 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( P  .\/  ( G `  P )
)  ./\  W )  .\/  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( F `  ( G `
 P ) ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P )
)  .\/  ( F `  ( G `  P
) ) )  ./\  W ) )
9256, 66, 913eqtrd 2416 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( ( P  .\/  ( G `  P ) )  .\/  ( F `
 ( G `  P ) ) ) 
./\  W ) )
9339, 49, 923brtr4d 4176 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  .<_  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146    o. ccom 4815   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   lecple 13456   joincjn 14321   meetcmee 14322   1.cp1 14387   Latclat 14394   OLcol 29340   Atomscatm 29429   HLchlt 29516   LHypclh 30149   LTrncltrn 30266   trLctrl 30323
This theorem is referenced by:  trlco  30892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-map 6949  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324
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