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Theorem trlcone 30917
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlcone.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcone.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcone.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcone  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1010 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
2 simp11 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp12l 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 30335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
72, 3, 6syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
8 simp12r 1069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
94, 5ltrnco 30908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
102, 3, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
11 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
12 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1411, 12, 4, 5, 13trlco 30916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T  /\  ( F  o.  G )  e.  T )  ->  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 `' F ) ( join `  K
) ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
152, 7, 10, 14syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
16 coass 5191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
1817, 4, 5ltrn1o 30313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
192, 3, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  F : B -1-1-onto-> B
)
20 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B )
)
2221coeq1d 4845 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  G ) )
2317, 4, 5ltrn1o 30313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
242, 8, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G : B -1-1-onto-> B
)
25 f1of 5472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  G : B
--> B )
26 fcoi2 5416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  G )  =  G )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  G
)  =  G )
2822, 27eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  G )
2916, 28syl5reqr 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
) )
3029fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G ) ) ) )
31 simp11l 1066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
32 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
33 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3412, 33hlatjidm 29558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  F
) ( join `  K
) ( R `  F ) )  =  ( R `  F
) )
3531, 32, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 F ) (
join `  K )
( R `  F
) )  =  ( R `  F ) )
364, 5, 13trlcnv 30354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
372, 3, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3837eqcomd 2288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  `' F
) )
39 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  ( F  o.  G ) ) )
4038, 39oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 F ) (
join `  K )
( R `  F
) )  =  ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
4135, 40eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
4215, 30, 413brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G ) ( le
`  K ) ( R `  F ) )
43 hlatl 29550 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
4431, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
45 simp13r 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 30362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  G )  e.  (
Atoms `  K ) )
472, 8, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  (
Atoms `  K ) )
4811, 33atcmp 29501 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( R `  G )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( R `  G ) ( le
`  K ) ( R `  F )  <-> 
( R `  G
)  =  ( R `
 F ) ) )
4944, 47, 32, 48syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 G ) ( le `  K ) ( R `  F
)  <->  ( R `  G )  =  ( R `  F ) ) )
5042, 49mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  F ) )
5150eqcomd 2288 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
52513expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  =  ( R `  ( F  o.  G
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
5352necon3d 2484 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) )
541, 53mpd 14 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) )
55 simpl3r 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
56 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
57 simpl2r 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G  e.  T )
58 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 30367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
6056, 57, 59syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( G  =  (  _I  |`  B )  <->  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) ) )
6160necon3bid 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( G  =/=  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  G
)  =/=  ( 0.
`  K ) ) )
6255, 61mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( 0. `  K
) )
6362necomd 2529 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( 0. `  K )  =/=  ( R `  G
) )
64 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )
65 simpl2l 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  F  e.  T )
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 30367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
6756, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <->  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
6864, 67mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  F  =  (  _I  |`  B ) )
6968coeq1d 4845 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  G
) )
7056, 57, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G : B -1-1-onto-> B )
7170, 25, 263syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  G )  =  G )
7269, 71eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  =  G )
7372fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  =  ( R `  G
) )
7463, 64, 733netr4d 2473 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
75 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simp2l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  F  e.  T )
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 30360 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
7875, 76, 77syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
7954, 74, 78mpjaodan 761 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   0.cp0 14143   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  trljco  30929  cdlemh2  31005  cdlemh  31006  cdlemk3  31022  cdlemk12  31039  cdlemk12u  31061  cdlemkfid1N  31110  cdlemk54  31147
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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