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Theorem trlcone 30986
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlcone.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcone.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcone.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcone  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1010 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
2 simp11 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp12l 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 30404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
72, 3, 6syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
8 simp12r 1069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
94, 5ltrnco 30977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
102, 3, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
11 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
12 eqid 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1411, 12, 4, 5, 13trlco 30985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T  /\  ( F  o.  G )  e.  T )  ->  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 `' F ) ( join `  K
) ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
152, 7, 10, 14syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
16 coass 5273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
1817, 4, 5ltrn1o 30382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
192, 3, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  F : B -1-1-onto-> B
)
20 f1ococnv1 5585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B )
)
2221coeq1d 4927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  G ) )
2317, 4, 5ltrn1o 30382 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
242, 8, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G : B -1-1-onto-> B
)
25 f1of 5555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  G : B
--> B )
26 fcoi2 5499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  G )  =  G )
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  G
)  =  G )
2822, 27eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  G )
2916, 28syl5reqr 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
) )
3029fveq2d 5612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G ) ) ) )
31 simp11l 1066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
32 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
33 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3412, 33hlatjidm 29627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  F
) ( join `  K
) ( R `  F ) )  =  ( R `  F
) )
3531, 32, 34syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 F ) (
join `  K )
( R `  F
) )  =  ( R `  F ) )
364, 5, 13trlcnv 30423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
372, 3, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3837eqcomd 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  `' F
) )
39 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  ( F  o.  G ) ) )
4038, 39oveq12d 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 F ) (
join `  K )
( R `  F
) )  =  ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
4135, 40eqtr3d 2392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
4215, 30, 413brtr4d 4134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G ) ( le
`  K ) ( R `  F ) )
43 hlatl 29619 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
4431, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
45 simp13r 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 30431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  G )  e.  (
Atoms `  K ) )
472, 8, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  (
Atoms `  K ) )
4811, 33atcmp 29570 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( R `  G )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( R `  G ) ( le
`  K ) ( R `  F )  <-> 
( R `  G
)  =  ( R `
 F ) ) )
4944, 47, 32, 48syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 G ) ( le `  K ) ( R `  F
)  <->  ( R `  G )  =  ( R `  F ) ) )
5042, 49mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  F ) )
5150eqcomd 2363 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
52513expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  =  ( R `  ( F  o.  G
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
5352necon3d 2559 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) )
541, 53mpd 14 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) )
55 simpl3r 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
56 simpl1 958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
57 simpl2r 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G  e.  T )
58 eqid 2358 . . . . . . . 8  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 30436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
6056, 57, 59syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( G  =  (  _I  |`  B )  <->  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) ) )
6160necon3bid 2556 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( G  =/=  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  G
)  =/=  ( 0.
`  K ) ) )
6255, 61mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( 0. `  K
) )
6362necomd 2604 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( 0. `  K )  =/=  ( R `  G
) )
64 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )
65 simpl2l 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  F  e.  T )
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 30436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
6756, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <->  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
6864, 67mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  F  =  (  _I  |`  B ) )
6968coeq1d 4927 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  G
) )
7056, 57, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G : B -1-1-onto-> B )
7170, 25, 263syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  G )  =  G )
7269, 71eqtrd 2390 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  =  G )
7372fveq2d 5612 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  =  ( R `  G
) )
7463, 64, 733netr4d 2548 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
75 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simp2l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  F  e.  T )
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 30429 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
7875, 76, 77syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
7954, 74, 78mpjaodan 761 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   class class class wbr 4104    _I cid 4386   `'ccnv 4770    |` cres 4773    o. ccom 4775   -->wf 5333   -1-1-onto->wf1o 5336   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Basecbs 13245   lecple 13312   joincjn 14177   0.cp0 14242   Atomscatm 29522   AtLatcal 29523   HLchlt 29609   LHypclh 30242   LTrncltrn 30359   trLctrl 30416
This theorem is referenced by:  trljco  30998  cdlemh2  31074  cdlemh  31075  cdlemk3  31091  cdlemk12  31108  cdlemk12u  31130  cdlemkfid1N  31179  cdlemk54  31216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-undef 6385  df-riota 6391  df-map 6862  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-p1 14245  df-lat 14251  df-clat 14313  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-llines 29756  df-lplanes 29757  df-lvols 29758  df-lines 29759  df-psubsp 29761  df-pmap 29762  df-padd 30054  df-lhyp 30246  df-laut 30247  df-ldil 30362  df-ltrn 30363  df-trl 30417
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