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Theorem trlcone 31525
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlcone.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlcone.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlcone.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlcone  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1012 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
2 simp11 987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp12l 1070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 30943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
72, 3, 6syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
8 simp12r 1071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
94, 5ltrnco 31516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
102, 3, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
11 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
12 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1411, 12, 4, 5, 13trlco 31524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  `' F  e.  T  /\  ( F  o.  G )  e.  T )  ->  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 `' F ) ( join `  K
) ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
152, 7, 10, 14syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
16 coass 5388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F  o.  F
)  o.  G )  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G
) )
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
1817, 4, 5ltrn1o 30921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
192, 3, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  F : B -1-1-onto-> B
)
20 f1ococnv1 5704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B )
)
2221coeq1d 5034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  G ) )
2317, 4, 5ltrn1o 30921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
242, 8, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G : B -1-1-onto-> B
)
25 f1of 5674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  G : B
--> B )
26 fcoi2 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G : B --> B  -> 
( (  _I  |`  B )  o.  G )  =  G )
2724, 25, 263syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( (  _I  |`  B )  o.  G
)  =  G )
2822, 27eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( `' F  o.  F )  o.  G )  =  G )
2916, 28syl5reqr 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  =  ( `' F  o.  ( F  o.  G )
) )
3029fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  ( `' F  o.  ( F  o.  G ) ) ) )
31 simp11l 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
32 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K ) )
33 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3412, 33hlatjidm 30166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( R `  F
) ( join `  K
) ( R `  F ) )  =  ( R `  F
) )
3531, 32, 34syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 F ) (
join `  K )
( R `  F
) )  =  ( R `  F ) )
364, 5, 13trlcnv 30962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
372, 3, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
3837eqcomd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  `' F
) )
39 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  ( F  o.  G ) ) )
4038, 39oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 F ) (
join `  K )
( R `  F
) )  =  ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
4135, 40eqtr3d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( R `  `' F ) ( join `  K ) ( R `
 ( F  o.  G ) ) ) )
4215, 30, 413brtr4d 4242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G ) ( le
`  K ) ( R `  F ) )
43 hlatl 30158 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
4431, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
45 simp13r 1073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 30970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) )  ->  ( R `  G )  e.  (
Atoms `  K ) )
472, 8, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  (
Atoms `  K ) )
4811, 33atcmp 30109 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( R `  G )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )  -> 
( ( R `  G ) ( le
`  K ) ( R `  F )  <-> 
( R `  G
)  =  ( R `
 F ) ) )
4944, 47, 32, 48syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( ( R `
 G ) ( le `  K ) ( R `  F
)  <->  ( R `  G )  =  ( R `  F ) ) )
5042, 49mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( R `  F ) )
5150eqcomd 2441 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  F
)  =  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )
52513expia 1155 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  =  ( R `  ( F  o.  G
) )  ->  ( R `  F )  =  ( R `  G ) ) )
5352necon3d 2639 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) )
541, 53mpd 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) )
55 simpl3r 1013 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  B ) )
56 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
57 simpl2r 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G  e.  T )
58 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 30975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
6056, 57, 59syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( G  =  (  _I  |`  B )  <->  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) ) )
6160necon3bid 2636 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( G  =/=  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  G
)  =/=  ( 0.
`  K ) ) )
6255, 61mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( 0. `  K
) )
6362necomd 2687 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( 0. `  K )  =/=  ( R `  G
) )
64 simpr 448 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) )
65 simpl2l 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  F  e.  T )
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 30975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <-> 
( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
6756, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <->  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
6864, 67mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  F  =  (  _I  |`  B ) )
6968coeq1d 5034 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( (  _I  |`  B )  o.  G
) )
7056, 57, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  G : B -1-1-onto-> B )
7170, 25, 263syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  (
(  _I  |`  B )  o.  G )  =  G )
7269, 71eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( F  o.  G )  =  G )
7372fveq2d 5732 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  =  ( R `  G
) )
7463, 64, 733netr4d 2628 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( ( R `  F )  =/=  ( R `  G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  /\  ( R `
 F )  =  ( 0. `  K
) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
75 simp1 957 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
76 simp2l 983 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  F  e.  T )
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 30968 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
7875, 76, 77syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  (
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K )  \/  ( R `  F )  =  ( 0. `  K ) ) )
7954, 74, 78mpjaodan 762 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   class class class wbr 4212    _I cid 4493   `'ccnv 4877    |` cres 4880    o. ccom 4882   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   0.cp0 14466   Atomscatm 30061   AtLatcal 30062   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955
This theorem is referenced by:  trljco  31537  cdlemh2  31613  cdlemh  31614  cdlemk3  31630  cdlemk12  31647  cdlemk12u  31669  cdlemkfid1N  31718  cdlemk54  31755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956
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