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Theorem trljco 31551
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trljco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trljco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trljco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trljco  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 4857 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
2 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 trljco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 trljco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrn1o 30935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
653adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
7 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
8 fcoi2 5432 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
96, 7, 83syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
101, 9sylan9eqr 2350 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  G )
1110fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  G ) )
1211oveq2d 5890 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
13 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
14 hllat 30175 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  Lat )
16 trljco.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
172, 3, 4, 16trlcl 30975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
18173adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
19 trljco.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
202, 19latjidm 14196 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) )  =  ( R `  F
) )
2115, 18, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( R `  F ) )
22 hlol 30173 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
2313, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  OL )
24 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
252, 19, 24olj01 30037 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) )  =  ( R `  F
) )
2623, 18, 25syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( 0. `  K
) )  =  ( R `  F ) )
2721, 26eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
2827adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
29 coeq2 4858 . . . . . 6  |-  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
302, 3, 4ltrn1o 30935 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31303adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
32 f1of 5488 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
33 fcoi1 5431 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3529, 34sylan9eqr 2350 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  F )
3635fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  F ) )
3736oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) ) )
382, 24, 3, 4, 16trlid0b 30989 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
39383adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
4039biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) )
4140oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
4228, 37, 413eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
43 eqid 2296 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4415adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  ->  K  e.  Lat )
45 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
463, 4ltrnco 31530 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
472, 3, 4, 16trlcl 30975 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
4845, 46, 47syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
492, 19latjcl 14172 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5015, 18, 48, 49syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5150adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  e.  ( Base `  K
) )
522, 3, 4, 16trlcl 30975 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
53523adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
542, 19latjcl 14172 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5515, 18, 53, 54syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5655adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  e.  ( Base `  K ) )
572, 43, 19latlej1 14182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5815, 18, 53, 57syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5943, 19, 3, 4, 16trlco 31538 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
602, 43, 19latjle12 14184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Base `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )  <-> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6115, 18, 48, 55, 60syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (
( R `  F
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6258, 59, 61mpbi2and 887 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
6362adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
64 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) )
6564oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
)  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
662, 43, 19latlej1 14182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6715, 18, 48, 66syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6821, 67eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6968adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
7065, 69eqbrtrrd 4061 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
712, 43, 44, 51, 56, 63, 70latasymd 14179 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
7262adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
73 simpl1l 1006 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  K  e.  HL )
74 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
75 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  e.  T )
76 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
77 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
782, 77, 3, 4, 16trlnidat 30984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
7974, 75, 76, 78syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
80 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  e.  T )
8175, 80jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )
82 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )
8377, 3, 4, 16trlcoat 31534 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K )
)
8474, 81, 82, 83syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Atoms `  K ) )
85 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
862, 3, 4, 16trlcone 31539 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
8774, 81, 82, 85, 86syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )
882, 77, 3, 4, 16trlnidat 30984 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
8974, 80, 85, 88syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
9043, 19, 77ps-1 30288 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  /\  ( ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  <->  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) ) )
9173, 79, 84, 87, 79, 89, 90syl132anc 1200 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
9272, 91mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
9312, 42, 71, 92pm2.61da3ne 2539 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039    _I cid 4320    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   0.cp0 14159   Latclat 14167   OLcol 29986   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912   trLctrl 30969
This theorem is referenced by:  trljco2  31552  cdlemkid1  31733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916  df-trl 30970
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