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Theorem trljco 31438
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trljco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trljco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trljco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trljco  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
2 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 trljco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 trljco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrn1o 30822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
653adant2 976 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
7 f1of 5666 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
8 fcoi2 5610 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
96, 7, 83syl 19 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
101, 9sylan9eqr 2489 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  G )
1110fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  G ) )
1211oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
13 simp1l 981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
14 hllat 30062 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  Lat )
16 trljco.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
172, 3, 4, 16trlcl 30862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
18173adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
19 trljco.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
202, 19latjidm 14493 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) )  =  ( R `  F
) )
2115, 18, 20syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( R `  F ) )
22 hlol 30060 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
2313, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  OL )
24 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
252, 19, 24olj01 29924 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) )  =  ( R `  F
) )
2623, 18, 25syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( 0. `  K
) )  =  ( R `  F ) )
2721, 26eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
2827adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
29 coeq2 5023 . . . . . 6  |-  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
302, 3, 4ltrn1o 30822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31303adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
32 f1of 5666 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
33 fcoi1 5609 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3431, 32, 333syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3529, 34sylan9eqr 2489 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  F )
3635fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  F ) )
3736oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) ) )
382, 24, 3, 4, 16trlid0b 30876 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
39383adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
4039biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) )
4140oveq2d 6089 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
4228, 37, 413eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
43 eqid 2435 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4415adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  ->  K  e.  Lat )
45 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
463, 4ltrnco 31417 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
472, 3, 4, 16trlcl 30862 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
4845, 46, 47syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
492, 19latjcl 14469 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5015, 18, 48, 49syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5150adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  e.  ( Base `  K
) )
522, 3, 4, 16trlcl 30862 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
53523adant2 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
542, 19latjcl 14469 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5515, 18, 53, 54syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5655adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  e.  ( Base `  K ) )
572, 43, 19latlej1 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5815, 18, 53, 57syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5943, 19, 3, 4, 16trlco 31425 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
602, 43, 19latjle12 14481 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Base `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )  <-> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6115, 18, 48, 55, 60syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (
( R `  F
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6258, 59, 61mpbi2and 888 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
6362adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
64 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) )
6564oveq2d 6089 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
)  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
662, 43, 19latlej1 14479 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6715, 18, 48, 66syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6821, 67eqbrtrd 4224 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6968adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
7065, 69eqbrtrrd 4226 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
712, 43, 44, 51, 56, 63, 70latasymd 14476 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
7262adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
73 simpl1l 1008 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  K  e.  HL )
74 simpl1 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
75 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  e.  T )
76 simpr1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
77 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
782, 77, 3, 4, 16trlnidat 30871 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
7974, 75, 76, 78syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
80 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  e.  T )
8175, 80jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )
82 simpr3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )
8377, 3, 4, 16trlcoat 31421 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K )
)
8474, 81, 82, 83syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Atoms `  K ) )
85 simpr2 964 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
862, 3, 4, 16trlcone 31426 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
8774, 81, 82, 85, 86syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )
882, 77, 3, 4, 16trlnidat 30871 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
8974, 80, 85, 88syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
9043, 19, 77ps-1 30175 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  /\  ( ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  <->  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) ) )
9173, 79, 84, 87, 79, 89, 90syl132anc 1202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
9272, 91mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
9312, 42, 71, 92pm2.61da3ne 2678 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204    _I cid 4485    |` cres 4872    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13459   lecple 13526   joincjn 14391   0.cp0 14456   Latclat 14464   OLcol 29873   Atomscatm 29962   HLchlt 30049   LHypclh 30682   LTrncltrn 30799   trLctrl 30856
This theorem is referenced by:  trljco2  31439  cdlemkid1  31620
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14393  df-plt 14405  df-lub 14421  df-glb 14422  df-join 14423  df-meet 14424  df-p0 14458  df-p1 14459  df-lat 14465  df-clat 14527  df-oposet 29875  df-ol 29877  df-oml 29878  df-covers 29965  df-ats 29966  df-atl 29997  df-cvlat 30021  df-hlat 30050  df-llines 30196  df-lplanes 30197  df-lvols 30198  df-lines 30199  df-psubsp 30201  df-pmap 30202  df-padd 30494  df-lhyp 30686  df-laut 30687  df-ldil 30802  df-ltrn 30803  df-trl 30857
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