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Theorem trljco 30929
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trljco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trljco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trljco.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trljco  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( (  _I  |`  ( Base `  K ) )  o.  G ) )
2 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 trljco.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 trljco.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrn1o 30313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
653adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  G :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
7 f1of 5472 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  G : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
8 fcoi2 5416 . . . . . 6  |-  ( G : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
96, 7, 83syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (  _I  |`  ( Base `  K
) )  o.  G
)  =  G )
101, 9sylan9eqr 2337 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  G )
1110fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  G ) )
1211oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  F  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
13 simp1l 979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
14 hllat 29553 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  Lat )
16 trljco.r . . . . . . . 8  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
172, 3, 4, 16trlcl 30353 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
18173adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  (
Base `  K )
)
19 trljco.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
202, 19latjidm 14180 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) )  =  ( R `  F
) )
2115, 18, 20syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( R `  F ) )
22 hlol 29551 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
2313, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  K  e.  OL )
24 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
252, 19, 24olj01 29415 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) )  =  ( R `  F
) )
2623, 18, 25syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( 0. `  K
) )  =  ( R `  F ) )
2721, 26eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
2827adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
29 coeq2 4842 . . . . . 6  |-  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )
302, 3, 4ltrn1o 30313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
31303adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
32 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
33 fcoi1 5415 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  K
) --> ( Base `  K
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  F )
3529, 34sylan9eqr 2337 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( F  o.  G )  =  F )
3635fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  =  ( R `  F ) )
3736oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  F ) ) )
382, 24, 3, 4, 16trlid0b 30367 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
39383adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  <-> 
( R `  G
)  =  ( 0.
`  K ) ) )
4039biimpa 470 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( R `  G )  =  ( 0. `  K ) )
4140oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( 0. `  K ) ) )
4228, 37, 413eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  G  =  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
43 eqid 2283 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
4415adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  ->  K  e.  Lat )
45 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
463, 4ltrnco 30908 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
472, 3, 4, 16trlcl 30353 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
4845, 46, 47syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
492, 19latjcl 14156 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5015, 18, 48, 49syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  e.  (
Base `  K )
)
5150adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  e.  ( Base `  K
) )
522, 3, 4, 16trlcl 30353 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
53523adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)
542, 19latjcl 14156 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5515, 18, 53, 54syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G
) )  e.  (
Base `  K )
)
5655adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  e.  ( Base `  K ) )
572, 43, 19latlej1 14166 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  G )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5815, 18, 53, 57syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
5943, 19, 3, 4, 16trlco 30916 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
602, 43, 19latjle12 14168 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Base `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )  <-> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6115, 18, 48, 55, 60syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (
( R `  F
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
6258, 59, 61mpbi2and 887 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
6362adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
64 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( R `  F
)  =  ( R `
 G ) )
6564oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
)  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) )
662, 43, 19latlej1 14166 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  F )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R `  ( F  o.  G
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6715, 18, 48, 66syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  F ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6821, 67eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  F
) ) ( le
`  K ) ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
6968adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  F )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
7065, 69eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) )
712, 43, 44, 51, 56, 63, 70latasymd 14163 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =  ( R `  G ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
7262adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K
) ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
73 simpl1l 1006 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  K  e.  HL )
74 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
75 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  e.  T )
76 simpr1 961 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
77 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
782, 77, 3, 4, 16trlnidat 30362 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
7974, 75, 76, 78syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  e.  ( Atoms `  K ) )
80 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  e.  T )
8175, 80jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( F  e.  T  /\  G  e.  T
) )
82 simpr3 963 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )
8377, 3, 4, 16trlcoat 30912 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K )
)
8474, 81, 82, 83syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  ( F  o.  G )
)  e.  ( Atoms `  K ) )
85 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  ->  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
862, 3, 4, 16trlcone 30917 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( R `  F
)  =/=  ( R `
 G )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G )
) )
8774, 81, 82, 85, 86syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  F
)  =/=  ( R `
 ( F  o.  G ) ) )
882, 77, 3, 4, 16trlnidat 30362 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
8974, 80, 85, 88syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) )
9043, 19, 77ps-1 29666 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  F )  e.  (
Atoms `  K )  /\  ( R `  ( F  o.  G ) )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  /\  ( ( R `
 F )  e.  ( Atoms `  K )  /\  ( R `  G
)  e.  ( Atoms `  K ) ) )  ->  ( ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( F  o.  G
) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F )  .\/  ( R `  G )
)  <->  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) ) ) )
9173, 79, 84, 87, 79, 89, 90syl132anc 1200 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) ) ( le `  K ) ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  G ) )  <->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) ) )
9272, 91mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K ) )  /\  G  =/=  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) ) )  -> 
( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  G ) ) )
9312, 42, 71, 92pm2.61da3ne 2526 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( R `  F )  .\/  ( R `  ( F  o.  G )
) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    _I cid 4304    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   0.cp0 14143   Latclat 14151   OLcol 29364   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  trljco2  30930  cdlemkid1  31111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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