Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlord Structured version   Unicode version

Theorem trlord 31366
 Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane ) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b
trlord.l
trlord.a
trlord.h
trlord.t
trlord.r
Assertion
Ref Expression
trlord
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem trlord
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5
2 trlord.l . . . . 5
3 simpl1l 1008 . . . . . 6
4 hllat 30161 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
6 simpl1 960 . . . . . 6
7 simprlr 740 . . . . . 6
8 trlord.h . . . . . . 7
9 trlord.t . . . . . . 7
10 trlord.r . . . . . . 7
111, 8, 9, 10trlcl 30961 . . . . . 6
126, 7, 11syl2anc 643 . . . . 5
13 simpl2l 1010 . . . . 5
14 simpl3l 1012 . . . . 5
15 simprr 734 . . . . 5
16 simprll 739 . . . . 5
171, 2, 5, 12, 13, 14, 15, 16lattrd 14487 . . . 4
1817exp44 597 . . 3
1918ralrimdv 2795 . 2
20 simp11l 1068 . . . . . . . . . 10
2120, 4syl 16 . . . . . . . . 9
22 simp2r 984 . . . . . . . . . 10
23 trlord.a . . . . . . . . . . 11
241, 23atbase 30087 . . . . . . . . . 10
2522, 24syl 16 . . . . . . . . 9
26 simp12l 1070 . . . . . . . . 9
27 simp11r 1069 . . . . . . . . . 10
281, 8lhpbase 30795 . . . . . . . . . 10
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9
30 simp3 959 . . . . . . . . 9
31 simp12r 1071 . . . . . . . . 9
321, 2, 21, 25, 26, 29, 30, 31lattrd 14487 . . . . . . . 8
3332, 30jca 519 . . . . . . 7
34333expia 1155 . . . . . 6
35 simp11 987 . . . . . . . . . 10
36 simp2r 984 . . . . . . . . . 10
37 simp3 959 . . . . . . . . . 10
382, 23, 8, 9, 10cdlemf 31360 . . . . . . . . . 10
3935, 36, 37, 38syl12anc 1182 . . . . . . . . 9
40 simp2l 983 . . . . . . . . . . . 12
41 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14
4341breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14
4442, 43imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13
4544rspccv 3049 . . . . . . . . . . . 12
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11
47 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13
48 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13
4947, 48imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
5049biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11
5146, 50syl6 31 . . . . . . . . . 10
5251rexlimdv 2829 . . . . . . . . 9
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8
54533expia 1155 . . . . . . 7
5554imp3a 421 . . . . . 6
5634, 55syld 42 . . . . 5
5756exp32 589 . . . 4
5857ralrimdv 2795 . . 3
59 simp1l 981 . . . 4
60 simp2l 983 . . . 4
61 simp3l 985 . . . 4
621, 2, 23hlatle 30195 . . . 4
6359, 60, 61, 62syl3anc 1184 . . 3
6458, 63sylibrd 226 . 2
6519, 64impbid 184 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  wrex 2706   class class class wbr 4212  cfv 5454  cbs 13469  cple 13536  clat 14474  catm 30061  chlt 30148  clh 30781  cltrn 30898  ctrl 30955 This theorem is referenced by:  diaord  31845  dihord2pre  32023 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956
 Copyright terms: Public domain W3C validator