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Theorem trlord 31366
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane  W) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlord.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlord.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlord.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlord.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlord  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , f    B, f    f, H    f, K    R, f    T, f    f, W   
f, X    f, Y
Allowed substitution hint:    A( f)

Proof of Theorem trlord
Dummy variables  g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 trlord.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simpl1l 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 30161 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simprlr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  f  e.  T
)
8 trlord.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 trlord.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 trlord.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
111, 8, 9, 10trlcl 30961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
126, 7, 11syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  e.  B
)
13 simpl2l 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  e.  B
)
14 simpl3l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  Y  e.  B
)
15 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  X )
16 simprll 739 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  .<_  Y )
171, 2, 5, 12, 13, 14, 15, 16lattrd 14487 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  Y )
1817exp44 597 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  -> 
( f  e.  T  ->  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) ) )
1918ralrimdv 2795 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) )
20 simp11l 1068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
2120, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  Lat )
22 simp2r 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  A )
23 trlord.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
241, 23atbase 30087 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  A  ->  u  e.  B )
2522, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  B )
26 simp12l 1070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  e.  B )
27 simp11r 1069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  H )
281, 8lhpbase 30795 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  B )
30 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  X )
31 simp12r 1071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  .<_  W )
321, 2, 21, 25, 26, 29, 30, 31lattrd 14487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  W )
3332, 30jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  (
u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) )
34333expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  -> 
( u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) ) )
35 simp11 987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
36 simp2r 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  e.  A )
37 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  .<_  W )
382, 23, 8, 9, 10cdlemf 31360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  A  /\  u  .<_  W ) )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
3935, 36, 37, 38syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
40 simp2l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) )
41 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
4241breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  X  <->  ( R `  g )  .<_  X ) )
4341breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  Y  <->  ( R `  g )  .<_  Y ) )
4442, 43imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y )  <->  ( ( R `  g )  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y ) ) )
4544rspccv 3049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
47 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  X  <->  u  .<_  X ) )
48 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  Y  <->  u  .<_  Y ) )
4947, 48imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y )  <->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5049biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R `  g
)  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y )  ->  (
( R `  g
)  =  u  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5146, 50syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  =  u  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5251rexlimdv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5339, 52mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
54533expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  W  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5554imp3a 421 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( u  .<_  W  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  Y ) )
5634, 55syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
5756exp32 589 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  ( u  e.  A  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5857ralrimdv 2795 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
59 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
60 simp2l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
61 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
621, 2, 23hlatle 30195 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6359, 60, 61, 62syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6458, 63sylibrd 226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
6519, 64impbid 184 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   Basecbs 13469   lecple 13536   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955
This theorem is referenced by:  diaord  31845  dihord2pre  32023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-map 7020  df-poset 14403  df-plt 14415  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-p0 14468  df-p1 14469  df-lat 14475  df-clat 14537  df-oposet 29974  df-ol 29976  df-oml 29977  df-covers 30064  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-llines 30295  df-lplanes 30296  df-lvols 30297  df-lines 30298  df-psubsp 30300  df-pmap 30301  df-padd 30593  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956
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