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Theorem trlord 30758
Description: The ordering of two Hilbert lattice elements (under the fiducial hyperplane  W) is determined by the translations whose traces are under them. (Contributed by NM, 3-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
trlord.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
trlord.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlord.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlord.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlord.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlord.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlord  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , f    B, f    f, H    f, K    R, f    T, f    f, W   
f, X    f, Y
Allowed substitution hint:    A( f)

Proof of Theorem trlord
Dummy variables  g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlord.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 trlord.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 simpl1l 1006 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  HL )
4 hllat 29553 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simprlr 739 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  f  e.  T
)
8 trlord.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 trlord.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 trlord.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
111, 8, 9, 10trlcl 30353 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  T
)  ->  ( R `  f )  e.  B
)
126, 7, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  e.  B
)
13 simpl2l 1008 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  e.  B
)
14 simpl3l 1010 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  Y  e.  B
)
15 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  X )
16 simprll 738 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  X  .<_  Y )
171, 2, 5, 12, 13, 14, 15, 16lattrd 14164 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( X  .<_  Y  /\  f  e.  T )  /\  ( R `  f
)  .<_  X ) )  ->  ( R `  f )  .<_  Y )
1817exp44 596 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  -> 
( f  e.  T  ->  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) ) )
1918ralrimdv 2632 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y ) ) )
20 simp11l 1066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  HL )
2120, 4syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  K  e.  Lat )
22 simp2r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  A )
23 trlord.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
241, 23atbase 29479 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  A  ->  u  e.  B )
2522, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  e.  B )
26 simp12l 1068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  e.  B )
27 simp11r 1067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  H )
281, 8lhpbase 30187 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2927, 28syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  W  e.  B )
30 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  X )
31 simp12r 1069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  X  .<_  W )
321, 2, 21, 25, 26, 29, 30, 31lattrd 14164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  W )
3332, 30jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  X )  ->  (
u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) )
34333expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  -> 
( u  .<_  W  /\  u  .<_  X ) ) )
35 simp11 985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
36 simp2r 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  e.  A )
37 simp3 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  u  .<_  W )
382, 23, 8, 9, 10cdlemf 30752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( u  e.  A  /\  u  .<_  W ) )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
3935, 36, 37, 38syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u )
40 simp2l 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) )
41 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
4241breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  X  <->  ( R `  g )  .<_  X ) )
4341breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  Y  <->  ( R `  g )  .<_  Y ) )
4442, 43imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( R `  f )  .<_  X  -> 
( R `  f
)  .<_  Y )  <->  ( ( R `  g )  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y ) ) )
4544rspccv 2881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
4640, 45syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y ) ) )
47 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  X  <->  u  .<_  X ) )
48 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( R `  g
)  .<_  Y  <->  u  .<_  Y ) )
4947, 48imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R `  g )  =  u  ->  (
( ( R `  g )  .<_  X  -> 
( R `  g
)  .<_  Y )  <->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5049biimpcd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R `  g
)  .<_  X  ->  ( R `  g )  .<_  Y )  ->  (
( R `  g
)  =  u  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5146, 50syl6 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
g  e.  T  -> 
( ( R `  g )  =  u  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5251rexlimdv 2666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  ( E. g  e.  T  ( R `  g )  =  u  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5339, 52mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A )  /\  u  .<_  W )  ->  (
u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
54533expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  W  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
5554imp3a 420 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( ( u  .<_  W  /\  u  .<_  X )  ->  u  .<_  Y ) )
5634, 55syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  /\  ( A. f  e.  T  (
( R `  f
)  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  /\  u  e.  A ) )  -> 
( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) )
5756exp32 588 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  ( u  e.  A  ->  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) ) )
5857ralrimdv 2632 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
59 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
60 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
61 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
621, 2, 23hlatle 29587 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6359, 60, 61, 62syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. u  e.  A  ( u  .<_  X  ->  u  .<_  Y ) ) )
6458, 63sylibrd 225 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( A. f  e.  T  ( ( R `
 f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y )  ->  X  .<_  Y ) )
6519, 64impbid 183 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  ( Y  e.  B  /\  Y  .<_  W ) )  -> 
( X  .<_  Y  <->  A. f  e.  T  ( ( R `  f )  .<_  X  ->  ( R `  f )  .<_  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  diaord  31237  dihord2pre  31415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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