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Theorem trlval2 30960
Description: The value of the trace of a lattice translation, given any atom  P not under the fiducial co-atom  W. Note: this requires only the weaker assumption  K  e.  Lat; we use  K  e.  HL for convenience. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
trlval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
trlval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
trlval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
trlval2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trlval2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
trlval2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
trlval2.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
trlval2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)

Proof of Theorem trlval2
Dummy variables  x  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 30161 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
21anim1i 552 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H ) )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 trlval2.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 trlval2.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 trlval2.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
7 trlval2.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
8 trlval2.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
9 trlval2.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 trlval2.r . . . . 5  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10trlval 30959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  =  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
12113adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  (
iota_ x  e.  ( Base `  K ) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
13 simp1l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp3l 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
153, 7atbase 30087 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
1614, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
173, 8, 9ltrncl 30922 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
1816, 17syld3an3 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  (
Base `  K )
)
193, 5latjcl 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  ( F `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
2013, 16, 18, 19syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P
) )  e.  (
Base `  K )
)
21 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
223, 8lhpbase 30795 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
243, 6latmcl 14480 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( F `
 P ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
2513, 20, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
26 simp13l 1072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  P  e.  A )
27 simp13r 1073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  -.  P  .<_  W )
28 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  P  ->  (
q  .<_  W  <->  P  .<_  W ) )
2928notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  P  ->  ( -.  q  .<_  W  <->  -.  P  .<_  W ) )
30 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  P  ->  q  =  P )
31 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  P  ->  ( F `  q )  =  ( F `  P ) )
3230, 31oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  P  ->  (
q  .\/  ( F `  q ) )  =  ( P  .\/  ( F `  P )
) )
3332oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  P  ->  (
( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W ) )
3433eqeq2d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  P  ->  (
x  =  ( ( q  .\/  ( F `
 q ) ) 
./\  W )  <->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) )
3529, 34imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  P  ->  (
( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )
)  <->  ( -.  P  .<_  W  ->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) ) )
3635rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  A  ->  ( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )
)  ->  ( -.  P  .<_  W  ->  x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W ) ) ) )
3736com23 74 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  ( -.  P  .<_  W  -> 
( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W )
)  ->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) ) )
3826, 27, 37sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )  ->  x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W ) ) )
39 simp11 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H ) )
40 simp12 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  F  e.  T )
41 simp13l 1072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  P  e.  A )
42 simp13r 1073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  -.  P  .<_  W )
43 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  q  e.  A )
44 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  -.  q  .<_  W )
454, 5, 6, 7, 8, 9ltrnu 30918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( q  e.  A  /\  -.  q  .<_  W ) )  -> 
( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )
4639, 40, 41, 42, 43, 44, 45syl222anc 1200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  (
( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )
47 eqeq2 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  <->  x  =  (
( q  .\/  ( F `  q )
)  ./\  W )
) )
4847biimpd 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W )
) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  -.  q  .<_  W  /\  q  e.  A )  ->  (
x  =  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) )
50493exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  (
q  e.  A  -> 
( x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `
 q ) ) 
./\  W ) ) ) ) )
5150com24 83 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  ( q  e.  A  ->  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) ) )
5251ralrimdv 2795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
53523ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( x  =  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) )  ./\  W )  ->  A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) ) )
5438, 53impbid 184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
)  /\  x  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( (
q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) )  <->  x  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
) )
5554riota5OLD 6576 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( ( P  .\/  ( F `
 P ) ) 
./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K ) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q 
.\/  ( F `  q ) )  ./\  W ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P ) )  ./\  W )
)
5625, 55mpdan 650 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  K
) A. q  e.  A  ( -.  q  .<_  W  ->  x  =  ( ( q  .\/  ( F `  q ) )  ./\  W )
) )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)
5712, 56eqtrd 2468 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)
582, 57syl3an1 1217 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
)  ./\  W )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   Basecbs 13469   lecple 13536   joincjn 14401   meetcmee 14402   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   LHypclh 30781   LTrncltrn 30898   trLctrl 30955
This theorem is referenced by:  trlcl  30961  trlcnv  30962  trljat1  30963  trljat2  30964  trlat  30966  trl0  30967  trlle  30981  trlval3  30984  trlval5  30986  cdlemd6  31000  cdlemf  31360  cdlemg4a  31405  cdlemg4b1  31406  cdlemg4b2  31407  cdlemg4  31414  cdlemg11b  31439  cdlemg13a  31448  cdlemg13  31449  cdlemg17a  31458  cdlemg17dN  31460  cdlemg17e  31462  cdlemg17f  31463  trlcoabs2N  31519  trlcolem  31523  cdlemg42  31526  cdlemg43  31527  cdlemi1  31615  cdlemk4  31631  cdlemk39  31713  dia2dimlem1  31862  dia2dimlem2  31863  dia2dimlem3  31864  cdlemm10N  31916  cdlemn2  31993  cdlemn10  32004  dihjatcclem3  32218
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-map 7020  df-lat 14475  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-lhyp 30785  df-laut 30786  df-ldil 30901  df-ltrn 30902  df-trl 30956
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