Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trnei Structured version   Unicode version

Theorem trnei 17916
 Description: The trace, over a set , of the filter of the neighborhoods of a point is a filter iff belongs to the closure of . (This is trfil2 17911 applied to a filter of neighborhoods.) (Contributed by FL, 15-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trnei TopOn t

Proof of Theorem trnei
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 topontop 16983 . . . 4 TopOn
213ad2ant1 978 . . 3 TopOn
3 simp2 958 . . . 4 TopOn
4 toponuni 16984 . . . . 5 TopOn
543ad2ant1 978 . . . 4 TopOn
63, 5sseqtrd 3376 . . 3 TopOn
7 simp3 959 . . . 4 TopOn
87, 5eleqtrd 2511 . . 3 TopOn
9 eqid 2435 . . . 4
109neindisj2 17179 . . 3
112, 6, 8, 10syl3anc 1184 . 2 TopOn
12 simp1 957 . . . 4 TopOn TopOn
137snssd 3935 . . . 4 TopOn
14 snnzg 3913 . . . . 5
15143ad2ant3 980 . . . 4 TopOn
16 neifil 17904 . . . 4 TopOn
1712, 13, 15, 16syl3anc 1184 . . 3 TopOn
18 trfil2 17911 . . 3 t
1917, 3, 18syl2anc 643 . 2 TopOn t
2011, 19bitr4d 248 1 TopOn t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   cin 3311   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccl 17074  cnei 17153  cfil 17869 This theorem is referenced by:  cnextfun  18087  cnextfvval  18088  cnextf  18089  cnextcn  18090  cnextfres  18091  cnextucn  18325  ucnextcn  18326  limcflflem  19759  rrhre  24379 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-rest 13642  df-fbas 16691  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-fil 17870
 Copyright terms: Public domain W3C validator