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Theorem trnsetN 30321
Description: The set of translations for a fiducial atom  D. (Contributed by NM, 4-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trnset.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
trnset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
trnset.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
trnset.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
trnset.w  |-  W  =  ( WAtoms `  K )
trnset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
trnset.l  |-  L  =  ( Dil `  K
)
trnset.t  |-  T  =  ( Trn `  K
)
Assertion
Ref Expression
trnsetN  |-  ( ( K  e.  B  /\  D  e.  A )  ->  ( T `  D
)  =  { f  e.  ( L `  D )  |  A. q  e.  ( W `  D ) A. r  e.  ( W `  D
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) ) } )
Distinct variable groups:    f, q,
r, K    f, L    W, q, r    D, f, q, r
Allowed substitution hints:    A( f, r, q)    B( f, r, q)    .+ ( f, r, q)    S( f, r, q)    T( f, r, q)    L( r, q)    M( f, r, q)    ._|_ ( f, r, q)    W( f)

Proof of Theorem trnsetN
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trnset.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 trnset.s . . . 4  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 trnset.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
4 trnset.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
5 trnset.w . . . 4  |-  W  =  ( WAtoms `  K )
6 trnset.m . . . 4  |-  M  =  ( PAut `  K
)
7 trnset.l . . . 4  |-  L  =  ( Dil `  K
)
8 trnset.t . . . 4  |-  T  =  ( Trn `  K
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8trnfsetN 30320 . . 3  |-  ( K  e.  B  ->  T  =  ( d  e.  A  |->  { f  e.  ( L `  d
)  |  A. q  e.  ( W `  d
) A. r  e.  ( W `  d
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) ) } ) )
109fveq1d 5663 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  ( T `  D )  =  ( ( d  e.  A  |->  { f  e.  ( L `  d )  |  A. q  e.  ( W `  d ) A. r  e.  ( W `  d
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) ) } ) `
 D ) )
11 fveq2 5661 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( L `  d )  =  ( L `  D ) )
12 fveq2 5661 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( W `  d )  =  ( W `  D ) )
13 sneq 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  { d }  =  { D } )
1413fveq2d 5665 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (  ._|_  `  { d } )  =  (  ._|_  `  { D } ) )
1514ineq2d 3478 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( q  .+  (
f `  q )
)  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( q  .+  ( f `
 q ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) ) )
1614ineq2d 3478 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( r  .+  (
f `  r )
)  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `
 r ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) ) )
1715, 16eqeq12d 2394 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( q  .+  ( f `  q
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  (
f `  r )
)  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  <->  ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) ) ) )
1812, 17raleqbidv 2852 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  ( A. r  e.  ( W `  d )
( ( q  .+  ( f `  q
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  (
f `  r )
)  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  <->  A. r  e.  ( W `  D ) ( ( q  .+  ( f `  q
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) )  =  ( ( r  .+  (
f `  r )
)  i^i  (  ._|_  `  { D } ) ) ) )
1912, 18raleqbidv 2852 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. q  e.  ( W `  d ) A. r  e.  ( W `  d )
( ( q  .+  ( f `  q
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  (
f `  r )
)  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  <->  A. q  e.  ( W `  D ) A. r  e.  ( W `  D ) ( ( q  .+  ( f `  q
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) )  =  ( ( r  .+  (
f `  r )
)  i^i  (  ._|_  `  { D } ) ) ) )
2011, 19rabeqbidv 2887 . . 3  |-  ( d  =  D  ->  { f  e.  ( L `  d )  |  A. q  e.  ( W `  d ) A. r  e.  ( W `  d
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) ) }  =  { f  e.  ( L `  D )  |  A. q  e.  ( W `  D
) A. r  e.  ( W `  D
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) ) } )
21 eqid 2380 . . 3  |-  ( d  e.  A  |->  { f  e.  ( L `  d )  |  A. q  e.  ( W `  d ) A. r  e.  ( W `  d
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) ) } )  =  ( d  e.  A  |->  { f  e.  ( L `  d
)  |  A. q  e.  ( W `  d
) A. r  e.  ( W `  d
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) ) } )
22 fvex 5675 . . . 4  |-  ( L `
 D )  e. 
_V
2322rabex 4288 . . 3  |-  { f  e.  ( L `  D )  |  A. q  e.  ( W `  D ) A. r  e.  ( W `  D
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) ) }  e.  _V
2420, 21, 23fvmpt 5738 . 2  |-  ( D  e.  A  ->  (
( d  e.  A  |->  { f  e.  ( L `  d )  |  A. q  e.  ( W `  d
) A. r  e.  ( W `  d
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { d } ) ) } ) `
 D )  =  { f  e.  ( L `  D )  |  A. q  e.  ( W `  D
) A. r  e.  ( W `  D
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) ) } )
2510, 24sylan9eq 2432 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  D  e.  A )  ->  ( T `  D
)  =  { f  e.  ( L `  D )  |  A. q  e.  ( W `  D ) A. r  e.  ( W `  D
) ( ( q 
.+  ( f `  q ) )  i^i  (  ._|_  `  { D } ) )  =  ( ( r  .+  ( f `  r
) )  i^i  (  ._|_  `  { D }
) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   {crab 2646    i^i cin 3255   {csn 3750    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Atomscatm 29429   PSubSpcpsubsp 29661   + Pcpadd 29960   _|_ PcpolN 30067   WAtomscwpointsN 30151   PAutcpautN 30152   DilcdilN 30267   TrnctrnN 30268
This theorem is referenced by:  istrnN  30322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-trnN 30272
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