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Theorem trooo 25394
Description: A right translation is a bijection. The term  A is a constant. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
trfun.2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )
trinv.1  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
trooo  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem trooo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5883 . . . 4  |-  ( x G A )  e. 
_V
21rgenw 2610 . . 3  |-  A. x  e.  X  ( x G A )  e.  _V
3 trfun.2 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )
43mptfng 5369 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  (
x G A )  e.  _V  <->  F  Fn  X )
54a1i 10 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  ( x G A )  e.  _V  <->  F  Fn  X ) )
62, 5mpbii 202 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  F  Fn  X )
7 trinv.1 . . 3  |-  X  =  ran  G
83, 7trran2 25393 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  X )
93fvmpt2 5608 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( x G A )  e.  _V )  ->  ( F `  x
)  =  ( x G A ) )
101, 9mpan2 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  ( F `  x )  =  ( x G A ) )
1110ad2antrl 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  x
)  =  ( x G A ) )
12 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
13 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( y G A )  e. 
_V
1412, 13jctir 524 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( y  e.  X  /\  ( y G A )  e.  _V )
)
1514adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( y  e.  X  /\  ( y G A )  e.  _V )
)
16 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x G A )  =  ( y G A ) )
1716, 3fvmptg 5600 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  X  /\  ( y G A )  e.  _V )  ->  ( F `  y
)  =  ( y G A ) )
1815, 17syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( y G A ) )
1911, 18eqeq12d 2297 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x G A )  =  ( y G A ) ) )
2019biimpd 198 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  ( x G A )  =  ( y G A ) ) )
217grporcan 20888 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
x G A )  =  ( y G A )  <->  x  =  y ) )
22213exp2 1169 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( x  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( x G A )  =  ( y G A )  <->  x  =  y ) ) ) ) )
2322imp3a 420 . . . . . 6  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( x G A )  =  ( y G A )  <-> 
x  =  y ) ) ) )
2423com23 72 . . . . 5  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G A )  =  ( y G A )  <-> 
x  =  y ) ) ) )
2524imp31 421 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x G A )  =  ( y G A )  <-> 
x  =  y ) )
2620, 25sylibd 205 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
2726ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
28 nfmpt1 4109 . . . 4  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  ( x G A ) )
29 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( x G A ) )
3028, 29dff1o6f 25092 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( x G A ) )  Fn  X  /\  ran  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )  =  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
31 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( F  =  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> X  <->  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
323, 31ax-mp 8 . . 3  |-  ( F : X -1-1-onto-> X  <->  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) : X -1-1-onto-> X )
333fneq1i 5338 . . . 4  |-  ( F  Fn  X  <->  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )  Fn  X )
343rneqi 4905 . . . . 5  |-  ran  F  =  ran  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )
3534eqeq1i 2290 . . . 4  |-  ( ran 
F  =  X  <->  ran  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )  =  X )
363fveq1i 5526 . . . . . . 7  |-  ( F `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  x )
373fveq1i 5526 . . . . . . 7  |-  ( F `
 y )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  y )
3836, 37eqeq12i 2296 . . . . . 6  |-  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `
 y ) )
3938imbi1i 315 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  y
)  ->  x  =  y ) )
40392ralbii 2569 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  y
)  ->  x  =  y ) )
4133, 35, 403anbi123i 1140 . . 3  |-  ( ( F  Fn  X  /\  ran  F  =  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)  <->  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )  Fn  X  /\  ran  ( x  e.  X  |->  ( x G A ) )  =  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( x G A ) ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
4230, 32, 413bitr4i 268 . 2  |-  ( F : X -1-1-onto-> X  <->  ( F  Fn  X  /\  ran  F  =  X  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) ) )
436, 8, 27, 42syl3anbrc 1136 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  trinv  25395  caytr  25400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860
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