Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Unicode version

Theorem trpred0 24239
Description: The class of transitive predecessors is empty when  A is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables  a 
i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 24222 . 2  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  U_ i  e. 
om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)
2 pred0 24199 . . . . . . . . . . 11  |-  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
32a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  a  ->  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/) )
43iuneq2i 3923 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  U_ y  e.  a  (/)
5 iun0 3958 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  (/)  =  (/)
64, 5eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
76mpteq2i 4103 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )
8 pred0 24199 . . . . . . 7  |-  Pred ( R ,  (/) ,  X
)  =  (/)
9 rdgeq12 6426 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )  /\  Pred ( R ,  (/)
,  X )  =  (/) )  ->  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) ) )
107, 8, 9mp2an 653 . . . . . 6  |-  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )
1110reseq1i 4951 . . . . 5  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
1211fveq1i 5526 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )
13 nn0suc 4680 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
14 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) ) )
15 0ex 4150 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 fr0g 6448 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/)
1814, 17syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
19 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a (/)
20 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
j
21 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
22 eqidd 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  j )  ->  (/)  =  (/) )
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 6450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  (/) 
e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
2415, 23mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
25 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j ) )
2625eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/)  <->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) ) )
2724, 26syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  om  ->  (
i  =  suc  j  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) ) )
2827rexlimiv 2661 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
2918, 28jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3013, 29syl 15 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3112, 30syl5eq 2327 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3231iuneq2i 3923 . 2  |-  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)  =  U_ i  e.  om  (/)
33 iun0 3958 . 2  |-  U_ i  e.  om  (/)  =  (/)
341, 32, 333eqtri 2307 1  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656    |` cres 4691   ` cfv 5255   reccrdg 6422   Predcpred 24167   TrPredctrpred 24220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-pred 24168  df-trpred 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator