Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Unicode version

Theorem trpred0 24310
Description: The class of transitive predecessors is empty when  A is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables  a 
i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 24293 . 2  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  U_ i  e. 
om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)
2 pred0 24270 . . . . . . . . . . 11  |-  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
32a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  a  ->  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/) )
43iuneq2i 3939 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  U_ y  e.  a  (/)
5 iun0 3974 . . . . . . . . 9  |-  U_ y  e.  a  (/)  =  (/)
64, 5eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y )  =  (/)
76mpteq2i 4119 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )
8 pred0 24270 . . . . . . 7  |-  Pred ( R ,  (/) ,  X
)  =  (/)
9 rdgeq12 6442 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) )  =  ( a  e.  _V  |->  (/) )  /\  Pred ( R ,  (/)
,  X )  =  (/) )  ->  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) ) )
107, 8, 9mp2an 653 . . . . . 6  |-  rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  =  rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )
1110reseq1i 4967 . . . . 5  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
1211fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )
13 nn0suc 4696 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
14 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) ) )
15 0ex 4166 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
16 fr0g 6464 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  (/) )  =  (/)
1814, 17syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
19 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a (/)
20 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ a
j
21 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om )
22 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  j )  ->  (/)  =  (/) )
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 6466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  om  /\  (/) 
e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
2415, 23mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) )
25 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j ) )
2625eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/)  <->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  (/) ) )
2724, 26syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  om  ->  (
i  =  suc  j  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) ) )
2827rexlimiv 2674 . . . . . 6  |-  ( E. j  e.  om  i  =  suc  j  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
2918, 28jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3013, 29syl 15 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  (/) ) ,  (/) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3112, 30syl5eq 2340 . . 3  |-  ( i  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  (/) ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/) ,  X
) )  |`  om ) `  i )  =  (/) )
3231iuneq2i 3939 . 2  |-  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  (/)
,  y ) ) ,  Pred ( R ,  (/)
,  X ) )  |`  om ) `  i
)  =  U_ i  e.  om  (/)
33 iun0 3974 . 2  |-  U_ i  e.  om  (/)  =  (/)
341, 32, 333eqtri 2320 1  |-  TrPred ( R ,  (/) ,  X )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672    |` cres 4707   ` cfv 5271   reccrdg 6438   Predcpred 24238   TrPredctrpred 24291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-pred 24239  df-trpred 24292
  Copyright terms: Public domain W3C validator