Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredelss Unicode version

Theorem trpredelss 24793
Description: Given a transitive predecessor  Y of  X, the transitive predecessors of  Y are a subset of the transitive predecessors of  X. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredelss  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )

Proof of Theorem trpredelss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setlikespec 24745 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
2 trpredss 24790 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  -> 
TrPred ( R ,  A ,  X )  C_  A
)
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  A )
43sselda 3256 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  Y  e.  A )
5 simplr 731 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  R Se  A )
6 trpredtr 24791 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
76ralrimiv 2701 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
87adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  A. y  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
9 trpredtr 24791 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
109imp 418 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
11 trpredmintr 24792 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e. 
TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
)  /\  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
124, 5, 8, 10, 11syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
1312ex 423 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864    C_ wss 3228   Se wse 4429   Predcpred 24725   TrPredctrpred 24778
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  24794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-pred 24726  df-trpred 24779
  Copyright terms: Public domain W3C validator