Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredelss Unicode version

Theorem trpredelss 25449
Description: Given a transitive predecessor  Y of  X, the transitive predecessors of  Y are a subset of the transitive predecessors of  X. (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredelss  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )

Proof of Theorem trpredelss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setlikespec 25401 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
2 trpredss 25446 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  -> 
TrPred ( R ,  A ,  X )  C_  A
)
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  A )
43sselda 3308 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  Y  e.  A )
5 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  R Se  A )
6 trpredtr 25447 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
76ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
87adantr 452 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  A. y  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
9 trpredtr 25447 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
109imp 419 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
11 trpredmintr 25448 . . 3  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e. 
TrPred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
)  /\  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
124, 5, 8, 10, 11syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
1312ex 424 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   Se wse 4499   Predcpred 25381   TrPredctrpred 25434
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  25450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-pred 25382  df-trpred 25435
  Copyright terms: Public domain W3C validator