Theorem trpredex 25520

Description: The transitive predecessors of a relation form a set (NOTE: this is the first theorem in the transitive predecessor series that requires infinity). (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trpredex	|- TrPred ( R , A , X ) e. _V

Proof of Theorem trpredex

Dummy variables a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trpred 25501	. 2 |- TrPred ( R , A , X ) = U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
2		frfnom 6695	. . . . 5 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om
3		omex 7601	. . . . 5 |- om e. _V
4		fnex 5964	. . . . 5 |- ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om /\ om e. _V ) -> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 655	. . . 4 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
6	5	rnex 5136	. . 3 |- ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
7	6	uniex 4708	. 2 |- U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2508	1 |- TrPred ( R , A , X ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1726   _Vcvv 2958   U.cuni 4017   U_ciun 4095   e. cmpt 4269   omcom 4848   ran crn 4882   |` cres 4883   Fn wfn 5452   reccrdg 6670   Predcpred 25443   TrPredctrpred 25500

This theorem is referenced by:  frmin  25522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-trpred 25501