Theorem trpredex 24240

Description: The transitive predecessors of a relation form a set (NOTE: this is the first theorem in the transitive predecessor series that requires infinity). (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trpredex	|- TrPred ( R , A , X ) e. _V

Proof of Theorem trpredex

Dummy variables a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trpred 24221	. 2 |- TrPred ( R , A , X ) = U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
2		frfnom 6447	. . . . 5 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om
3		omex 7344	. . . . 5 |- om e. _V
4		fnex 5741	. . . . 5 |- ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om /\ om e. _V ) -> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 653	. . . 4 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
6	5	rnex 4942	. . 3 |- ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
7	6	uniex 4516	. 2 |- U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2353	1 |- TrPred ( R , A , X ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   U_ciun 3905   e. cmpt 4077   omcom 4656   ran crn 4690   |` cres 4691   Fn wfn 5250   reccrdg 6422   Predcpred 24167   TrPredctrpred 24220

This theorem is referenced by:  frmin  24242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-trpred 24221