Theorem trpredex 25458

Description: The transitive predecessors of a relation form a set (NOTE: this is the first theorem in the transitive predecessor series that requires infinity). (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trpredex	|- TrPred ( R , A , X ) e. _V

Proof of Theorem trpredex

Dummy variables a y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trpred 25439	. 2 |- TrPred ( R , A , X ) = U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
2		frfnom 6655	. . . . 5 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om
3		omex 7558	. . . . 5 |- om e. _V
4		fnex 5924	. . . . 5 |- ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) Fn om /\ om e. _V ) -> ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V )
5	2, 3, 4	mp2an 654	. . . 4 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
6	5	rnex 5096	. . 3 |- ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
7	6	uniex 4668	. 2 |- U. ran ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) e. _V
8	1, 7	eqeltri 2478	1 |- TrPred ( R , A , X ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1721   _Vcvv 2920   U.cuni 3979   U_ciun 4057   e. cmpt 4230   omcom 4808   ran crn 4842   |` cres 4843   Fn wfn 5412   reccrdg 6630   Predcpred 25385   TrPredctrpred 25438

This theorem is referenced by:  frmin  25460

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-trpred 25439