Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredmintr Unicode version

Theorem trpredmintr 24305
Description: The transitive predecessors form the smallest class transitive in  R and  A. That is, if  B is another  R,  A transitive class containing  Pred ( R ,  A ,  X ), then  TrPred ( R ,  A ,  X )  C_  B (Contributed by Scott Fenton, 25-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredmintr  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  B )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X    y, B

Proof of Theorem trpredmintr
Dummy variables  a 
c  d  i  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 24293 . 2  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
2 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
32sseq1d 3218 . . . . . . 7  |-  ( j  =  (/)  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  B )
)
43imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  (/)  ->  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  B )
) )
5 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) )
65sseq1d 3218 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )
76imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) ) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  suc  k  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k ) )
98sseq1d 3218 . . . . . . 7  |-  ( j  =  suc  k  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) 
C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  k
)  C_  B )
)
109imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  suc  k  -> 
( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
) ) )
11 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  i  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
1211sseq1d 3218 . . . . . . 7  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) )
1312imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( j  =  i  ->  (
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) ) )
14 setlikespec 24258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
15 fr0g 6464 . . . . . . . . 9  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
1716adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
18 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
)
1917, 18eqsstrd 3225 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  C_  B )
20 fvex 5555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  e.  _V
21 trpredlem1 24301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  A
)
2214, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  A
)
2322sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  y  e.  A
) )
24 setlikespec 24258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2524expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R Se  A  ->  ( y  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V ) )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e. 
_V ) )
2723, 26syld 40 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V ) )
2827ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
30 iunexg 5783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  e.  _V  /\ 
A. y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )  ->  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
3120, 29, 30sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  U_ y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
32 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
33 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a
k
34 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ a U_ y  e.  (
( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )
35 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
36 predeq3 24242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  d  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
d ) )
3736cbviunv 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ d  e.  a  Pred ( R ,  A ,  d )
38 iuneq1 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  c  ->  U_ d  e.  a  Pred ( R ,  A ,  d )  =  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) )
3937, 38syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  c  ->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) )
4039cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) )
41 rdgeq1 6440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
42 reseq1 4965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
4340, 41, 42mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
4443fveq1i 5542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  =  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
4544eqeq2i 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  <-> 
a  =  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k ) )
46 iuneq1 3934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y ) )
4745, 46sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )  ->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y ) )
4832, 33, 34, 35, 47frsucmpt 6466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  om  /\  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A ,  d ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )
)
4931, 48sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  =  U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )
)
5044sseq1i 3215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B  <->  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)
5150anbi2i 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  <->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )
52 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( X  e.  A  /\  R Se  A )
53 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B
54 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ y
Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
5553, 54nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ y ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
)
5652, 55nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )
57 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
5856, 57nfan 1783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)
59 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B  ->  ( y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  ->  y  e.  B ) )
60 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  ->  ( y  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B ) )
6160ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
y  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B ) )
6259, 61sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  ( y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
) )
6358, 62ralrimi 2637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6463adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6551, 64sylan2b 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  A. y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
66 iunss 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ y  e.  ( ( rec ( ( c  e. 
_V  |->  U_ d  e.  c 
Pred ( R ,  A ,  d )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k )
Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  <->  A. y  e.  ( ( rec ( ( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6765, 66sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  U_ y  e.  ( ( rec (
( c  e.  _V  |->  U_ d  e.  c  Pred ( R ,  A , 
d ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B
)
6849, 67eqsstrd 3225 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  om  /\  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  /\  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
)
6968exp32 588 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  k ) 
C_  B  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
) ) )
7069a2d 23 . . . . . 6  |-  ( k  e.  om  ->  (
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  k )  C_  B
)  ->  ( (
( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  k )  C_  B
) ) )
714, 7, 10, 13, 19, 70finds 4698 . . . . 5  |-  ( i  e.  om  ->  (
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) )
7271com12 27 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  (
i  e.  om  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
) )
7372ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  A. i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  B )
74 iunss 3959 . . 3  |-  ( U_ i  e.  om  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B  <->  A. i  e.  om  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  B
)
7573, 74sylibr 203 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  U_ i  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) 
C_  B )
761, 75syl5eqss 3235 1  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e.  B  Pred ( R ,  A ,  y )  C_  B  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  B
) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U_ciun 3921    e. cmpt 4093   Se wse 4366   suc csuc 4410   omcom 4672    |` cres 4707   ` cfv 5271   reccrdg 6438   Predcpred 24238   TrPredctrpred 24291
This theorem is referenced by:  trpredelss  24306  dftrpred3g  24307  trpredpo  24309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-pred 24239  df-trpred 24292
  Copyright terms: Public domain W3C validator