Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpo Structured version   Unicode version

Theorem trpredpo 25513
Description: If  R partially orders  A, then the transitive predecessors are the same as the immediate predecessors . (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredpo  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )

Proof of Theorem trpredpo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 958 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  X  e.  A )
2 simp3 959 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
3 predpo 25459 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A )  ->  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
43ralrimiv 2788 . . . 4  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
543adant3 977 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
6 ssid 3367 . . . 4  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X )
76a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
8 trpredmintr 25509 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  X )
)
91, 2, 5, 7, 8syl22anc 1185 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  Pred ( R ,  A ,  X
) )
10 setlikespec 25462 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
11 trpredpred 25506 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
13123adant1 975 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
149, 13eqssd 3365 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320    Po wpo 4501   Se wse 4539   Predcpred 25438   TrPredctrpred 25495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-pred 25439  df-trpred 25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator