Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpo Unicode version

Theorem trpredpo 24238
Description: If  R partially orders  A, then the transitive predecessors are the same as the immediate predecessors . (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredpo  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )

Proof of Theorem trpredpo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  X  e.  A )
2 simp3 957 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
3 predpo 24184 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A )  ->  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
43ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
543adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
6 ssid 3197 . . . 4  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X )
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
8 trpredmintr 24234 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  X )
)
91, 2, 5, 7, 8syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  Pred ( R ,  A ,  X
) )
10 setlikespec 24187 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
11 trpredpred 24231 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
13123adant1 973 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
149, 13eqssd 3196 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152    Po wpo 4312   Se wse 4350   Predcpred 24167   TrPredctrpred 24220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-pred 24168  df-trpred 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator