Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpo Unicode version

Theorem trpredpo 24796
Description: If  R partially orders  A, then the transitive predecessors are the same as the immediate predecessors . (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredpo  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )

Proof of Theorem trpredpo
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 956 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  X  e.  A )
2 simp3 957 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
3 predpo 24742 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A )  ->  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
43ralrimiv 2701 . . . 4  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
543adant3 975 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
6 ssid 3273 . . . 4  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X )
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) )
8 trpredmintr 24792 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  y )  C_  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  X )
)
91, 2, 5, 7, 8syl22anc 1183 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  Pred ( R ,  A ,  X
) )
10 setlikespec 24745 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
11 trpredpred 24789 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
13123adant1 973 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
149, 13eqssd 3272 1  |-  ( ( R  Po  A  /\  X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864    C_ wss 3228    Po wpo 4394   Se wse 4432   Predcpred 24725   TrPredctrpred 24778
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-pred 24726  df-trpred 24779
  Copyright terms: Public domain W3C validator