Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpred Unicode version

Theorem trpredpred 24302
Description: Assuming it exists, the predecessor class is a subset of the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trpredpred  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )

Proof of Theorem trpredpred
Dummy variables  a 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fr0g 6464 . . . . . 6  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
2 frfnom 6463 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  Fn  om
3 peano1 4691 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
4 fnbrfvb 5579 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  = 
Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
61, 5sylib 188 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  -> 
(/) ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
7 0ex 4166 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
8 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
97, 8spcev 2888 . . . . 5  |-  ( (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
)  ->  E. z 
z ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
106, 9syl 15 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
11 elrng 4887 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  e.  ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  <->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
1210, 11mpbird 223 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
13 elssuni 3871 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
15 df-trpred 24292 . 2  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
1614, 15syl6sseqr 3238 1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   omcom 4672   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   ` cfv 5271   reccrdg 6438   Predcpred 24238   TrPredctrpred 24291
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  24307  trpredpo  24309  frmin  24313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-trpred 24292
  Copyright terms: Public domain W3C validator