Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredpred Unicode version

Theorem trpredpred 24231
Description: Assuming it exists, the predecessor class is a subset of the transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
trpredpred  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )

Proof of Theorem trpredpred
Dummy variables  a 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fr0g 6448 . . . . . 6  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
2 frfnom 6447 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  Fn  om
3 peano1 4675 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
4 fnbrfvb 5563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  Fn 
om  /\  (/)  e.  om )  ->  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  = 
Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
61, 5sylib 188 . . . . 5  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  -> 
(/) ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
7 0ex 4150 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
8 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X )  <->  (/) ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
97, 8spcev 2875 . . . . 5  |-  ( (/) ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
)  ->  E. z 
z ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X ) )
106, 9syl 15 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) )
11 elrng 4871 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  e.  ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  <->  E. z  z ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) Pred ( R ,  A ,  X
) ) )
1210, 11mpbird 223 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
13 elssuni 3855 . . 3  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
U. ran  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) )
15 df-trpred 24221 . 2  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U. ran  ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
1614, 15syl6sseqr 3225 1  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  B  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   reccrdg 6422   Predcpred 24167   TrPredctrpred 24220
This theorem is referenced by:  dftrpred3g  24236  trpredpo  24238  frmin  24242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-trpred 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator