Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredrec Structured version   Unicode version

Theorem trpredrec 25516
Description: If  Y is an  R,  A transitive predecessor, then it is either an immediate predecessor or there is a transitive predecessor between  Y and  X (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredrec  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, R    z, X    z, Y

Proof of Theorem trpredrec
Dummy variables  a 
i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltrpred 25504 . 2  |-  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
2 nn0suc 4869 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
3 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
43eleq2d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  (/)  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  <-> 
Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) ) )
54anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  <->  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) ) ) )
65biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) ) ) )
7 setlikespec 25462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
8 fr0g 6693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
109eleq2d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  <->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
1110biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) )  ->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )
)
126, 11syl6com 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( i  =  (/)  ->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
13 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )
1413eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  <->  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) )
1514anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  <->  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) ) )
1615biimpd 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) ) )
17 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  e.  _V
18 trpredlem1 25505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  A
)
197, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  A
)
2019sseld 3347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  z  e.  A
) )
21 setlikespec 25462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
2221expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e. 
_V ) )
2420, 23syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V ) )
2524ralrimiv 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
26 iunexg 5987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  e.  _V  /\ 
A. z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )  ->  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
2717, 25, 26sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
28 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
29 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a
j
30 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ a
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )
3130, 28nfrdg 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ a rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )
32 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ a om
3331, 32nfres 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ a
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )
3433, 29nffv 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ a
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )
35 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  z )
3634, 35nfiun 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a U_ z  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )
37 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
38 predeq3 25443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
3938cbviunv 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ z  e.  a  Pred ( R ,  A ,  z )
40 iuneq1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ z  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  z )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4139, 40syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4228, 29, 36, 37, 41frsucmpt 6695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )
)
4327, 42sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4443eleq2d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  <->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )
) )
4544biimpd 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  ->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
4645expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  om  ->  (
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  ->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
47 eliun 4097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  <->  E. z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  z )
)
48 ssiun2 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
49 dftrpred2 25497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
5048, 49syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5150sseld 3347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  X ) ) )
52 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
5352elpredim 25451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )  ->  Y R z )
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )  ->  Y R
z ) )
5551, 54anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  om  ->  (
( z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  /\  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  /\  Y R z ) ) )
5655reximdv2 2815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  ( E. z  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  z )  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
5756com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) Y  e.  Pred ( R ,  A , 
z )  ->  (
j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X
) Y R z ) )
5847, 57sylbi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  ->  (
j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X
) Y R z ) )
5946, 58syl6com 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  -> 
( j  e.  om  ->  ( j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6059pm2.43d 46 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  -> 
( j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
6116, 60syl6com 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( i  =  suc  j  ->  ( j  e. 
om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6261com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( j  e.  om  ->  ( i  =  suc  j  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6362rexlimdv 2829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( E. j  e. 
om  i  =  suc  j  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
6412, 63orim12d 812 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( i  =  (/)  \/  E. j  e. 
om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6564ex 424 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
6665com23 74 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( i  =  (/)  \/ 
E. j  e.  om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
672, 66syl5 30 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
i  e.  om  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
6867rexlimdv 2829 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
691, 68syl5bi 209 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   (/)c0 3628   U_ciun 4093   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   Se wse 4539   suc csuc 4583   omcom 4845    |` cres 4880   ` cfv 5454   reccrdg 6667   Predcpred 25438   TrPredctrpred 25495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-pred 25439  df-trpred 25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator