Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredrec Unicode version

Theorem trpredrec 24241
Description: If  Y is an  R,  A transitive predecessor, then it is either an immediate predecessor or there is a transitive predecessor between  Y and  X (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredrec  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, R    z, X    z, Y

Proof of Theorem trpredrec
Dummy variables  a 
i  j  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltrpred 24229 . 2  |-  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
2 nn0suc 4680 . . . 4  |-  ( i  e.  om  ->  (
i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j ) )
3 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) )
43eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  (/)  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  <-> 
Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) ) ) )
54anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  <->  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) ) ) )
65biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  (/)  ->  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) ) ) )
7 setlikespec 24187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
8 fr0g 6448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
97, 8syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) )  =  Pred ( R ,  A ,  X ) )
109eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  (/) )  <->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
1110biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  (/) ) )  ->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )
)
126, 11syl6com 31 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( i  =  (/)  ->  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
13 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )
1413eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  <->  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) )
1514anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  <->  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) ) )
1615biimpd 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  suc  j  -> 
( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) ) ) )
17 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  e.  _V
18 trpredlem1 24230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  A
)
197, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  A
)
2019sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  z  e.  A
) )
21 setlikespec 24187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
2221expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2322adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e. 
_V ) )
2420, 23syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V ) )
2524ralrimiv 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
26 iunexg 5767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  e.  _V  /\ 
A. z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )  ->  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
2717, 25, 26sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
28 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  X )
29 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a
j
30 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ a
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )
3130, 28nfrdg 6427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ a rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )
32 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ a om
3331, 32nfres 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ a
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )
3433, 29nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ a
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )
35 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ a Pred ( R ,  A ,  z )
3634, 35nfiun 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ a U_ z  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )
37 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
38 predeq3 24171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
z ) )
3938cbviunv 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ z  e.  a  Pred ( R ,  A ,  z )
40 iuneq1 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ z  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  z )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4139, 40syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4228, 29, 36, 37, 41frsucmpt 6450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  om  /\  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  =  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )
)
4327, 42sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  j
)  =  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) )
4443eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  <->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
Pred ( R ,  A ,  z )
) )
4544biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  om  /\  ( X  e.  A  /\  R Se  A )
)  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j )  ->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
4645expimpd 586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  om  ->  (
( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  ->  Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z ) ) )
47 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  <->  E. z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  z )
)
48 ssiun2 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
49 dftrpred2 24222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
5048, 49syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  om  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5150sseld 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  (
z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )  ->  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  X ) ) )
52 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
_V
5352elpredim 24176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )  ->  Y R z )
5453a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  om  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )  ->  Y R
z ) )
5551, 54anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  om  ->  (
( z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  /\  Y  e.  Pred ( R ,  A ,  z )
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  /\  Y R z ) ) )
5655reximdv2 2652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  om  ->  ( E. z  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  z )  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
5756com12 27 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) Y  e.  Pred ( R ,  A , 
z )  ->  (
j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X
) Y R z ) )
5847, 57sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  U_ z  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) Pred ( R ,  A , 
z )  ->  (
j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X
) Y R z ) )
5946, 58syl6com 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  -> 
( j  e.  om  ->  ( j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6059pm2.43d 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  j ) )  -> 
( j  e.  om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
6116, 60syl6com 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( i  =  suc  j  ->  ( j  e. 
om  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6261com23 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( j  e.  om  ->  ( i  =  suc  j  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6362rexlimdv 2666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( E. j  e. 
om  i  =  suc  j  ->  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) )
6412, 63orim12d 811 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  Y  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( i  =  (/)  \/  E. j  e. 
om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
6564ex 423 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( ( i  =  (/)  \/  E. j  e.  om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
6665com23 72 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( i  =  (/)  \/ 
E. j  e.  om  i  =  suc  j )  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X
)  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
672, 66syl5 28 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
i  e.  om  ->  ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) ) )
6867rexlimdv 2666 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  ( Y  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
691, 68syl5bi 208 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  ( Y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  E. z  e.  TrPred  ( R ,  A ,  X ) Y R z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Se wse 4350   suc csuc 4394   omcom 4656    |` cres 4691   ` cfv 5255   reccrdg 6422   Predcpred 24167   TrPredctrpred 24220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-pred 24168  df-trpred 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator