Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredtr Structured version   Unicode version

Theorem trpredtr 25508
Description: The transitive predecessors are transitive in  R and  A (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredtr  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )

Proof of Theorem trpredtr
Dummy variables  a 
f  i  j  t  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltrpred 25504 . 2  |-  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
2 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
i  e.  om )
3 peano2 4865 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  suc  i  e.  om )
5 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) )
6 ssid 3367 . . . . . . 7  |-  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A ,  Y )
7 predeq3 25443 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Y  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  =  Pred ( R ,  A ,  Y ) )
87sseq2d 3376 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Y  ->  ( Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A , 
t )  <->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  Pred ( R ,  A ,  Y
) ) )
98rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  /\  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  Y )
)  ->  E. t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A , 
t ) )
10 ssiun 4133 . . . . . . . 8  |-  ( E. t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  t )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  /\  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  Y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  U_ t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
125, 6, 11sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
13 fvex 5742 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  e.  _V
14 setlikespec 25462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
15 trpredlem1 25505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
1716sseld 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  t  e.  A
) )
18 setlikespec 25462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
1918expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R Se  A  ->  ( t  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V ) )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  t )  e. 
_V ) )
2117, 20syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  t )  e.  _V ) )
2221ralrimiv 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
2322ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  A. t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
24 iunexg 5987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  e.  _V  /\ 
A. t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )  ->  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
2513, 23, 24sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  U_ t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
26 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ f Pred ( R ,  A ,  X )
27 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ f
i
28 nfcv 2572 . . . . . . . 8  |-  F/_ f U_ t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )
29 predeq3 25443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
t ) )
3029cbviunv 4130 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ t  e.  a  Pred ( R ,  A ,  t )
31 iuneq1 4106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  f  ->  U_ t  e.  a  Pred ( R ,  A ,  t )  =  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) )
3230, 31syl5eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) )
3332cbvmptv 4300 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) )
34 rdgeq1 6669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
35 reseq1 5140 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
3633, 34, 35mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( f  e. 
_V  |->  U_ t  e.  f 
Pred ( R ,  A ,  t )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
37 iuneq1 4106 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  U_ t  e.  f 
Pred ( R ,  A ,  t )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
3826, 27, 28, 36, 37frsucmpt 6695 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  om  /\  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )
)
392, 25, 38syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )
)
4012, 39sseqtr4d 3385 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )
41 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  suc  i  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )
4241sseq2d 3376 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  suc  i  -> 
( Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  <->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  i
) ) )
4342rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  E. j  e.  om  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) )
44 ssiun 4133 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  om  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
4543, 44syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
46 dftrpred2 25497 . . . . . 6  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
4745, 46syl6sseqr 3395 . . . . 5  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
484, 40, 47syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
4948ex 424 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  i  e.  om )  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5049rexlimdva 2830 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) ) )
511, 50syl5bi 209 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   U_ciun 4093    e. cmpt 4266   Se wse 4539   suc csuc 4583   omcom 4845    |` cres 4880   ` cfv 5454   reccrdg 6667   Predcpred 25438   TrPredctrpred 25495
This theorem is referenced by:  trpredelss  25510  frmin  25517
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-pred 25439  df-trpred 25496
  Copyright terms: Public domain W3C validator