Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredtr Unicode version

Theorem trpredtr 24233
Description: The transitive predecessors are transitive in  R and  A (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredtr  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )

Proof of Theorem trpredtr
Dummy variables  a 
f  i  j  t  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltrpred 24229 . 2  |-  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
2 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
i  e.  om )
3 peano2 4676 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  suc  i  e.  om )
5 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) )
6 ssid 3197 . . . . . . 7  |-  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A ,  Y )
7 predeq3 24171 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Y  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  =  Pred ( R ,  A ,  Y ) )
87sseq2d 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Y  ->  ( Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A , 
t )  <->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  Pred ( R ,  A ,  Y
) ) )
98rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  /\  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  Y )
)  ->  E. t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A , 
t ) )
10 ssiun 3944 . . . . . . . 8  |-  ( E. t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  t )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  /\  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  Y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  U_ t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
125, 6, 11sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
13 fvex 5539 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  e.  _V
14 setlikespec 24187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
15 trpredlem1 24230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
1716sseld 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  t  e.  A
) )
18 setlikespec 24187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
1918expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R Se  A  ->  ( t  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V ) )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  t )  e. 
_V ) )
2117, 20syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  t )  e.  _V ) )
2221ralrimiv 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  A. t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
24 iunexg 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  e.  _V  /\ 
A. t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )  ->  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
2513, 23, 24sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  U_ t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
26 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ f Pred ( R ,  A ,  X )
27 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ f
i
28 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ f U_ t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )
29 predeq3 24171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
t ) )
3029cbviunv 3941 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ t  e.  a  Pred ( R ,  A ,  t )
31 iuneq1 3918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  f  ->  U_ t  e.  a  Pred ( R ,  A ,  t )  =  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) )
3230, 31syl5eq 2327 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) )
3332cbvmptv 4111 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) )
34 rdgeq1 6424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
35 reseq1 4949 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
3633, 34, 35mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( f  e. 
_V  |->  U_ t  e.  f 
Pred ( R ,  A ,  t )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
37 iuneq1 3918 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  U_ t  e.  f 
Pred ( R ,  A ,  t )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
3826, 27, 28, 36, 37frsucmpt 6450 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  om  /\  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )
)
392, 25, 38syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )
)
4012, 39sseqtr4d 3215 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )
41 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  suc  i  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )
4241sseq2d 3206 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  suc  i  -> 
( Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  <->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  i
) ) )
4342rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  E. j  e.  om  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) )
44 ssiun 3944 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  om  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
46 dftrpred2 24222 . . . . . 6  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
4745, 46syl6sseqr 3225 . . . . 5  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
484, 40, 47syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
4948ex 423 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  i  e.  om )  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5049rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) ) )
511, 50syl5bi 208 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U_ciun 3905    e. cmpt 4077   Se wse 4350   suc csuc 4394   omcom 4656    |` cres 4691   ` cfv 5255   reccrdg 6422   Predcpred 24167   TrPredctrpred 24220
This theorem is referenced by:  trpredelss  24235  frmin  24242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-pred 24168  df-trpred 24221
  Copyright terms: Public domain W3C validator