Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpredtr Unicode version

Theorem trpredtr 25059
Description: The transitive predecessors are transitive in  R and  A (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
trpredtr  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )

Proof of Theorem trpredtr
Dummy variables  a 
f  i  j  t  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltrpred 25055 . 2  |-  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )
2 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
i  e.  om )
3 peano2 4779 . . . . . 6  |-  ( i  e.  om  ->  suc  i  e.  om )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  suc  i  e.  om )
5 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i ) )
6 ssid 3283 . . . . . . 7  |-  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A ,  Y )
7 predeq3 24997 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  Y  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  =  Pred ( R ,  A ,  Y ) )
87sseq2d 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  Y  ->  ( Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A , 
t )  <->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  Pred ( R ,  A ,  Y
) ) )
98rspcev 2969 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  /\  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  Y )
)  ->  E. t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  Pred ( R ,  A , 
t ) )
10 ssiun 4046 . . . . . . . 8  |-  ( E. t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  t )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
119, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  /\  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
Pred ( R ,  A ,  Y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  U_ t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
125, 6, 11sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
13 fvex 5646 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  e.  _V
14 setlikespec 25013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
15 trpredlem1 25056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  C_  A
)
1716sseld 3265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  t  e.  A
) )
18 setlikespec 25013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
1918expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R Se  A  ->  ( t  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V ) )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  t )  e. 
_V ) )
2117, 20syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  t )  e.  _V ) )
2221ralrimiv 2710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. t  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  A. t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
24 iunexg 5887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  e.  _V  /\ 
A. t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )  ->  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
2513, 23, 24sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  U_ t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )  e.  _V )
26 nfcv 2502 . . . . . . . 8  |-  F/_ f Pred ( R ,  A ,  X )
27 nfcv 2502 . . . . . . . 8  |-  F/_ f
i
28 nfcv 2502 . . . . . . . 8  |-  F/_ f U_ t  e.  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t )
29 predeq3 24997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  =  Pred ( R ,  A , 
t ) )
3029cbviunv 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ t  e.  a  Pred ( R ,  A ,  t )
31 iuneq1 4020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  f  ->  U_ t  e.  a  Pred ( R ,  A ,  t )  =  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) )
3230, 31syl5eq 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y )  =  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) )
3332cbvmptv 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) )  =  ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) )
34 rdgeq1 6566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) )  =  ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) )  ->  rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) ) )
35 reseq1 5052 . . . . . . . . 9  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  =  rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A ,  t ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  -> 
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om )  =  ( rec ( ( f  e.  _V  |->  U_ t  e.  f  Pred ( R ,  A , 
t ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) )
3633, 34, 35mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( f  e. 
_V  |->  U_ t  e.  f 
Pred ( R ,  A ,  t )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om )
37 iuneq1 4020 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  U_ t  e.  f 
Pred ( R ,  A ,  t )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) Pred ( R ,  A , 
t ) )
3826, 27, 28, 36, 37frsucmpt 6592 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  om  /\  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A ,  y ) ) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )  e.  _V )  ->  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )
)
392, 25, 38syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i )  =  U_ t  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )
Pred ( R ,  A ,  t )
)
4012, 39sseqtr4d 3301 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )
41 fveq2 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  suc  i  -> 
( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  =  ( ( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )
4241sseq2d 3292 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  suc  i  -> 
( Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  <->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  suc  i
) ) )
4342rspcev 2969 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  E. j  e.  om  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j ) )
44 ssiun 4046 . . . . . . 7  |-  ( E. j  e.  om  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  (
( rec ( ( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  j )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
4543, 44syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j ) )
46 dftrpred2 25048 . . . . . 6  |-  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  U_ j  e.  om  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  j )
4745, 46syl6sseqr 3311 . . . . 5  |-  ( ( suc  i  e.  om  /\ 
Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  suc  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
484, 40, 47syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  i  e.  om )  /\  Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i ) )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
4948ex 423 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  i  e.  om )  ->  ( Y  e.  ( ( rec (
( a  e.  _V  |->  U_ y  e.  a  Pred ( R ,  A , 
y ) ) , 
Pred ( R ,  A ,  X )
)  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5049rexlimdva 2752 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. i  e.  om  Y  e.  ( ( rec ( ( a  e. 
_V  |->  U_ y  e.  a 
Pred ( R ,  A ,  y )
) ,  Pred ( R ,  A ,  X ) )  |`  om ) `  i )  ->  Pred ( R ,  A ,  Y )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) ) )
511, 50syl5bi 208 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  Pred ( R ,  A ,  Y
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629   _Vcvv 2873    C_ wss 3238   U_ciun 4007    e. cmpt 4179   Se wse 4453   suc csuc 4497   omcom 4759    |` cres 4794   ` cfv 5358   reccrdg 6564   Predcpred 24993   TrPredctrpred 25046
This theorem is referenced by:  trpredelss  25061  frmin  25068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-pred 24994  df-trpred 25047
  Copyright terms: Public domain W3C validator