Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trran2 Unicode version

Theorem trran2 25393
 Description: The range of a right translation. The term is a constant: is not present. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
trfun.2
trinv.1
Assertion
Ref Expression
trran2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem trran2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfun.2 . . 3
21rnmpt 4925 . 2
3 trinv.1 . . . . . . . . . . . 12
43grpocl 20867 . . . . . . . . . . 11
543exp 1150 . . . . . . . . . 10
65com23 72 . . . . . . . . 9
76imp 418 . . . . . . . 8
87impcom 419 . . . . . . 7
9 eleq1 2343 . . . . . . 7
108, 9syl5ibrcom 213 . . . . . 6
1110expcom 424 . . . . 5
1211rexlimdv 2666 . . . 4
13 simpll 730 . . . . . . 7
14 simpr 447 . . . . . . 7
15 eqid 2283 . . . . . . . . 9
163, 15grpoinvcl 20893 . . . . . . . 8
1716adantr 451 . . . . . . 7
183grpocl 20867 . . . . . . 7
1913, 14, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . 6
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11 GId GId
213, 20, 15grpolinv 20895 . . . . . . . . . 10 GId
2221adantr 451 . . . . . . . . 9 GId
2322eqcomd 2288 . . . . . . . 8 GId
2423oveq2d 5874 . . . . . . 7 GId
253, 20grporid 20887 . . . . . . . . 9 GId
2625eqcomd 2288 . . . . . . . 8 GId
2726adantlr 695 . . . . . . 7 GId
28 simplr 731 . . . . . . . 8
293grpoass 20870 . . . . . . . 8
3013, 14, 17, 28, 29syl13anc 1184 . . . . . . 7
3124, 27, 303eqtr4d 2325 . . . . . 6
32 oveq1 5865 . . . . . . . 8
3332eqeq2d 2294 . . . . . . 7
3433rspcev 2884 . . . . . 6
3519, 31, 34syl2anc 642 . . . . 5
3635ex 423 . . . 4
3712, 36impbid 183 . . 3
3837abbi1dv 2399 . 2
392, 38syl5eq 2327 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  cab 2269  wrex 2544   cmpt 4077   crn 4690  cfv 5255  (class class class)co 5858  cgr 20853  GIdcgi 20854  cgn 20855 This theorem is referenced by:  trooo  25394  caytr  25400 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860
 Copyright terms: Public domain W3C validator