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Theorem trsbc 28603
Description: Formula-building inference rule for class substitution, substituting a class variable for the set variable of the transitivity predicate. trsbc 28603 is trsbcVD 28969 without virtual deductions and was automatically derived from trsbcVD 28969 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command. (Contributed by Alan Sare, 18-Mar-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsbc  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem trsbc
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr2 4131 . . 3  |-  ( Tr  x  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
21sbcbiiOLD 3060 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  [. A  /  x ]. A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
3 sbcalg 3052 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
4 sbcalg 3052 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
5 pm3.31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
6 pm3.3 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) ) )
75, 6impbii 180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) )
87sbcbiiOLD 3060 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x ) ) )
9 sbcim2g 28601 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) ) ) )
10 biidd 228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
1110sbcieg 3036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y ) )
12 sbcel2gv 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A ) )
13 sbcel2gv 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A ) )
14 imbi13 28582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[. A  /  x ]. z  e.  y  <->  z  e.  y )  -> 
( ( [. A  /  x ]. y  e.  x  <->  y  e.  A
)  ->  ( ( [. A  /  x ]. z  e.  x  <->  z  e.  A )  -> 
( ( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) ) ) )
1511, 12, 13, 14syl3c 57 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
( [. A  /  x ]. z  e.  y  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  x  ->  [. A  /  x ]. z  e.  x
) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) )
169, 15bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( z  e.  y  ->  ( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) ) )
17 pm3.31 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  ->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
18 pm3.3 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  z  e.  A )  ->  (
z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) ) )
1917, 18impbii 180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  -> 
( y  e.  A  ->  z  e.  A ) )  <->  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
2016, 19syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  e.  y  ->  ( y  e.  x  ->  z  e.  x ) )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
218, 20bitr3d 246 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  ( (
z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
2221albidv 1615 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y [. A  /  x ]. ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
234, 22bitrd 244 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
2423albidv 1615 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. z [. A  /  x ]. A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  x
)  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
253, 24bitrd 244 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  A. z A. y ( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) ) )
26 dftr2 4131 . . 3  |-  ( Tr  A  <->  A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  z  e.  A ) )
2725, 26syl6bbr 254 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. A. z A. y
( ( z  e.  y  /\  y  e.  x )  ->  z  e.  x )  <->  Tr  A
) )
282, 27bitrd 244 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( [. A  /  x ]. Tr  x  <->  Tr  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   [.wsbc 3004   Tr wtr 4129
This theorem is referenced by:  truniALT  28604  truniALTVD  28970  trintALTVD  28972  trintALT  28973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-v 2803  df-sbc 3005  df-in 3172  df-ss 3179  df-uni 3844  df-tr 4130
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