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Theorem trsuc2OLD 4493
Description: Obsolete proof of suctr 4491 as of 5-Apr-2016. The successor of a transitive set is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
trsuc2OLD  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)

Proof of Theorem trsuc2OLD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 andi 837 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) )  <->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  { A } ) ) )
2 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  A ) )
32biimpac 472 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  =  A )  ->  x  e.  A )
43orim2i 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  ( x  e.  y  /\  y  =  A ) )  -> 
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  x  e.  A ) )
5 trel 4136 . . . . . . . 8  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
6 orc 374 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  A  \/  x  =  A )
)
75, 6syl6 29 . . . . . . 7  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  A  \/  x  =  A
) ) )
86a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( Tr  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( x  e.  A  \/  x  =  A ) ) )
97, 8jaod 369 . . . . . 6  |-  ( Tr  A  ->  ( (
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  x  e.  A )  ->  (
x  e.  A  \/  x  =  A )
) )
104, 9syl5 28 . . . . 5  |-  ( Tr  A  ->  ( (
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  ( x  e.  y  /\  y  =  A ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  =  A
) ) )
11 elsn 3668 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A }  <->  y  =  A )
1211anbi2i 675 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  { A } )  <->  ( x  e.  y  /\  y  =  A ) )
1312orbi2i 505 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  { A } ) )  <->  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  \/  (
x  e.  y  /\  y  =  A )
) )
14 elsn 3668 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
1514orbi2i 505 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  { A } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  =  A ) )
1610, 13, 153imtr4g 261 . . . 4  |-  ( Tr  A  ->  ( (
( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  \/  ( x  e.  y  /\  y  e.  { A } ) )  ->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { A } ) ) )
171, 16syl5bi 208 . . 3  |-  ( Tr  A  ->  ( (
x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { A } ) ) )
1817alrimivv 1622 . 2  |-  ( Tr  A  ->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { A } ) ) )
19 df-suc 4414 . . . 4  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
20 treq 4135 . . . 4  |-  ( suc 
A  =  ( A  u.  { A }
)  ->  ( Tr  suc  A  <->  Tr  ( A  u.  { A } ) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . 3  |-  ( Tr 
suc  A  <->  Tr  ( A  u.  { A } ) )
22 dftr2 4131 . . 3  |-  ( Tr  ( A  u.  { A } )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  { A } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { A } ) ) )
23 elun 3329 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  u.  { A } )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) )
2423anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  { A } ) )  <->  ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) ) )
25 elun 3329 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( A  u.  { A } )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { A } ) )
2624, 25imbi12i 316 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  { A } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { A } ) )  <->  ( ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { A } ) ) )
27262albii 1557 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  ( A  u.  { A } ) )  ->  x  e.  ( A  u.  { A } ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  (
y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) )  -> 
( x  e.  A  \/  x  e.  { A } ) ) )
2821, 22, 273bitri 262 . 2  |-  ( Tr 
suc  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  ( y  e.  A  \/  y  e.  { A } ) )  ->  ( x  e.  A  \/  x  e.  { A } ) ) )
2918, 28sylibr 203 1  |-  ( Tr  A  ->  Tr  suc  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163   {csn 3653   Tr wtr 4129   suc csuc 4410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rex 2562  df-v 2803  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3659  df-uni 3844  df-tr 4130  df-suc 4414
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