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Theorem trufil 17621
Description: Conditions for the trace of an ultrafilter  L to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trufil  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )

Proof of Theorem trufil
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 17615 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) )
2 ufilfil 17615 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  L  e.  ( Fil `  Y ) )
3 trfil3 17599 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
42, 3sylan 457 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
51, 4syl5ib 210 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  ->  -.  ( Y  \  A )  e.  L
) )
64biimprd 214 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  ( Fil `  A ) ) )
7 elpwi 3646 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
8 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  L  e.  ( UFil `  Y )
)
9 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  A
)
10 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  A  C_  Y
)
119, 10sstrd 3202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  x  C_  Y
)
12 ufilss 17616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  x  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L ) )
138, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  \/  ( Y  \  x )  e.  L ) )
14 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  Y  ->  A  C_  Y )
15 elfvdm 5570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  ( UFil `  Y
)  ->  Y  e.  dom  UFil )
16 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  Y  /\  Y  e.  dom  UFil )  ->  A  e.  _V )
1714, 15, 16syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A  e.  _V )
18 elrestr 13349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  x  e.  L )  ->  (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
19183expia 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2017, 19syldan 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
x  e.  L  -> 
( x  i^i  A
)  e.  ( Lt  A ) ) )
2120adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  ( x  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) ) )
22 df-ss 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  A  <->  ( x  i^i  A )  =  x )
239, 22sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  i^i  A )  =  x )
2423eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  i^i  A )  e.  ( Lt  A )  <->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
2521, 24sylibd 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  L  ->  x  e.  ( Lt  A ) ) )
26 indif1 3426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  \  x )  i^i  A )  =  ( ( Y  i^i  A )  \  x )
27 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  C_  Y )
28 dfss1 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  A )  =  A )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  i^i  A )  =  A )
3029difeq1d 3306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  i^i  A
)  \  x )  =  ( A  \  x ) )
3126, 30syl5eq 2340 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  =  ( A  \  x ) )
32 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  L  e.  ( UFil `  Y
) )
3317adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  A  e.  _V )
34 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( Y  \  x )  e.  L )
35 elrestr 13349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  e.  _V  /\  ( Y 
\  x )  e.  L )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  (
( Y  \  x
)  i^i  A )  e.  ( Lt  A ) )
3731, 36eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  ( x  C_  A  /\  ( Y  \  x )  e.  L
) )  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) )
3837expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( ( Y  \  x )  e.  L  ->  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
3925, 38orim12d 811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( (
x  e.  L  \/  ( Y  \  x
)  e.  L )  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4013, 39mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  C_  A
)  ->  ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
417, 40sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A 
\  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
4241ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) )
436, 42jctird 528 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A
)  /\  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) ) )
44 isufil 17614 . . . 4  |-  ( ( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  ( ( Lt  A )  e.  ( Fil `  A )  /\  A. x  e. 
~P  A ( x  e.  ( Lt  A )  \/  ( A  \  x )  e.  ( Lt  A ) ) ) )
4543, 44syl6ibr 218 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  -> 
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )
) )
465, 45impbid 183 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  -.  ( Y  \  A
)  e.  L ) )
47 ufilb 17617 . . 3  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  A  e.  L  <->  ( Y  \  A )  e.  L ) )
4847con1bid 320 . 2  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  ( -.  ( Y  \  A
)  e.  L  <->  A  e.  L ) )
4946, 48bitrd 244 1  |-  ( ( L  e.  ( UFil `  Y )  /\  A  C_  Y )  ->  (
( Lt  A )  e.  (
UFil `  A )  <->  A  e.  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Filcfil 17556   UFilcufil 17610
This theorem is referenced by:  ssufl  17629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rest 13343  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-ufil 17612
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