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Theorem trust 18251
Description: The trace of a uniform structure  U on a subset  A is a uniform structure on  A. Definition 3 of [BourbakiTop1] p. II.9. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
trust  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  e.  (UnifOn `  A ) )

Proof of Theorem trust
Dummy variables  v  u  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restsspw 13651 . . . 4  |-  ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  C_  ~P ( A  X.  A
) )
3 inxp 4999 . . . . . 6  |-  ( ( X  X.  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( X  i^i  A )  X.  ( X  i^i  A ) )
4 dfss1 3537 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  X  <->  ( X  i^i  A )  =  A )
54biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  X  ->  ( X  i^i  A )  =  A )
65, 5xpeq12d 4895 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( X  i^i  A
)  X.  ( X  i^i  A ) )  =  ( A  X.  A ) )
73, 6syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( A 
C_  X  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
87adantl 453 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( A  X.  A
) )
9 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  U  e.  (UnifOn `  X )
)
10 elfvex 5750 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  X  e.  _V )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  X  e.  _V )
12 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  C_  X )
1311, 12ssexd 4342 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A  e.  _V )
14 xpexg 4981 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  X.  A
)  e.  _V )
1513, 13, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  X.  A )  e. 
_V )
16 ustbasel 18228 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (UnifOn `  X
)  ->  ( X  X.  X )  e.  U
)
1716adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( X  X.  X )  e.  U )
18 elrestr 13648 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V  /\  ( X  X.  X )  e.  U
)  ->  ( ( X  X.  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
199, 15, 17, 18syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( X  X.  X
)  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
208, 19eqeltrrd 2510 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
219ad5antr 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
2215ad5antr 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( A  X.  A
)  e.  _V )
23 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  u  e.  U )
24 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ~P ( A  X.  A ) )
2524elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  C_  ( A  X.  A ) )
2612ad5antr 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  A  C_  X )
27 xpss12 4973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  X  /\  A  C_  X )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( X  X.  X ) )
2826, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( A  X.  A
)  C_  ( X  X.  X ) )
2925, 28sstrd 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  C_  ( X  X.  X ) )
30 ustssxp 18226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  u  C_  ( X  X.  X
) )
3121, 23, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  u  C_  ( X  X.  X ) )
3229, 31unssd 3515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  u
)  C_  ( X  X.  X ) )
33 ssun2 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  u  C_  ( w  u.  u
)
34 ustssel 18227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  (
w  u.  u ) 
C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( u  C_  (
w  u.  u )  ->  ( w  u.  u )  e.  U
) )
3533, 34mpi 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  (
w  u.  u ) 
C_  ( X  X.  X ) )  -> 
( w  u.  u
)  e.  U )
3621, 23, 32, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  u
)  e.  U )
37 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
C_  ( A  X.  A )  <->  ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  =  w )
3825, 37sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  i^i  ( A  X.  A ) )  =  w )
3938uneq1d 3492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  ( w  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
40 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
41 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
v  C_  w )
4240, 41eqsstr3d 3375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( u  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  w )
43 ssequn2 3512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  w  <->  ( w  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  w )
4442, 43sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( w  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  =  w )
4539, 44eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  =  ( (
w  i^i  ( A  X.  A ) )  u.  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
46 indir 3581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( w  i^i  ( A  X.  A
) )  u.  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4745, 46syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  =  ( (
w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
48 ineq1 3527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( w  u.  u )  ->  (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
4948eqeq2d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( w  u.  u )  ->  (
w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  w  =  ( ( w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
5049rspcev 3044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( w  u.  u
)  e.  U  /\  w  =  ( (
w  u.  u )  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
5136, 47, 50syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
52 elrest 13647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
5352biimpar 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
5421, 22, 51, 53syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  /\  u  e.  U )  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
55 simp1 957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
56153adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
57 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
58 elrest 13647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
5958biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
6055, 56, 57, 59syl21anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
61603expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
6354, 62r19.29a 2842 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A
) )  /\  v  C_  w )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
6463ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ~P ( A  X.  A ) )  ->  ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ) )
6564ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  A. w  e.  ~P  ( A  X.  A
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ) )
669ad5antr 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
6715ad5antr 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
68 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  u  e.  U
)
69 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  x  e.  U
)
70 ustincl 18229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U  /\  x  e.  U )  ->  (
u  i^i  x )  e.  U )
7166, 68, 69, 70syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( u  i^i  x )  e.  U
)
72 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
73 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7472, 73ineq12d 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  i^i  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
75 inindir 3551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  i^i  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7674, 75syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  x
)  i^i  ( A  X.  A ) ) )
77 ineq1 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u  i^i  x )  ->  (
y  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
7877eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u  i^i  x )  ->  (
( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  ( v  i^i  w )  =  ( ( u  i^i  x
)  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
7978rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  i^i  x
)  e.  U  /\  ( v  i^i  w
)  =  ( ( u  i^i  x )  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) )
8071, 76, 79syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) )
81 elrest 13647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  (
( v  i^i  w
)  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  <->  E. y  e.  U  ( v  i^i  w
)  =  ( y  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
8281biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. y  e.  U  (
v  i^i  w )  =  ( y  i^i  ( A  X.  A
) ) )  -> 
( v  i^i  w
)  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
8366, 67, 80, 82syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U
)  /\  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
8461adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
859ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
8615ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
87 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
8852biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
8985, 86, 87, 88syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )
90 reeanv 2867 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  U  E. x  e.  U  (
v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  <->  ( E. u  e.  U  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  E. x  e.  U  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9184, 89, 90sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. u  e.  U  E. x  e.  U  ( v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  /\  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
9283, 91r19.29_2a 2844 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
9392ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
94 simp-4l 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
95 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  u  e.  U )
96 ustdiag 18230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u )
9794, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  X )  C_  u
)
98 simp-4r 744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  A  C_  X
)
99 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  (  _I  |`  X )
100 resss 5162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  _I  |`  X )  C_  _I
10199, 100sstri 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  _I
102 iss 5181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  _I 
<->  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  (  _I  |`  dom  (
(  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
103101, 102mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  =  (  _I  |`  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) ) )
104 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  A )
105 ssel2 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u  e.  X )
106 equid 1688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  =  u
107 resieq 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( u (  _I  |`  X ) u  <->  u  =  u ) )
108106, 107mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  u (  _I  |`  X ) u )
109105, 105, 108syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  u (  _I  |`  X ) u )
110 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  u  ->  (
u (  _I  |`  X ) v  <->  u (  _I  |`  X ) u ) )
111110rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  e.  A  /\  u (  _I  |`  X ) u )  ->  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
112104, 109, 111syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  C_  X  /\  u  e.  A )  ->  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
113112ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
C_  X  ->  A. u  e.  A  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
114 dminxp 5303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A  <->  A. u  e.  A  E. v  e.  A  u (  _I  |`  X ) v )
115113, 114sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  X  ->  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  =  A )
116115reseq2d 5138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  X  ->  (  _I  |`  dom  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) ) )  =  (  _I  |`  A ) )
117103, 116syl5req 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  X  ->  (  _I  |`  A )  =  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
118117adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (  _I  |`  A )  =  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) ) )
119 ssrin 3558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  _I  |`  X )  C_  u  ->  ( (  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A
) )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
120119adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (
(  _I  |`  X )  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
121118, 120eqsstrd 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  X ) 
C_  u  /\  A  C_  X )  ->  (  _I  |`  A )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
12297, 98, 121syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
123 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
124122, 123sseqtr4d 3377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A )  C_  v
)
125124, 61r19.29a 2842 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  (  _I  |`  A ) 
C_  v )
12615ad3antrrr 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A  X.  A )  e.  _V )
127 ustinvel 18231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  `' u  e.  U )
12894, 95, 127syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' u  e.  U )
129123cnveqd 5040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  =  `' ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
130 cnvin 5271 . . . . . . . . . . 11  |-  `' ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  `' ( A  X.  A ) )
131 cnvxp 5282 . . . . . . . . . . . 12  |-  `' ( A  X.  A )  =  ( A  X.  A )
132131ineq2i 3531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' u  i^i  `' ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) )
133130, 132eqtri 2455 . . . . . . . . . 10  |-  `' ( u  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) )
134129, 133syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
135 ineq1 3527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  `' u  -> 
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
136135eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  `' u  -> 
( `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  <->  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
137136rspcev 3044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' u  e.  U  /\  `' v  =  ( `' u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
138128, 134, 137syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
139 elrest 13647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  ->  ( `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  <->  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
140139biimpar 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V )  /\  E. x  e.  U  `' v  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )
14194, 126, 138, 140syl21anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
142141, 61r19.29a 2842 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
143 simp-4l 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  U  e.  (UnifOn `  X
) )
14415ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( A  X.  A
)  e.  _V )
145 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  x  e.  U )
146 elrestr 13648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( A  X.  A )  e. 
_V  /\  x  e.  U )  ->  (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
147143, 144, 145, 146syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )
148 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  x
149 coss1 5020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
150 coss2 5021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
x  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( x  o.  x ) )
151149, 150sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  x  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  x
) )
152148, 151ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( x  o.  x
)
153 sstr 3348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( x  o.  x )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  u )
154152, 153mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  o.  x ) 
C_  u  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  u )
155154adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  u )
156 inss2 3554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
157 coss1 5020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
158 coss2 5021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( A  X.  A
)  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A
) ) )
159157, 158sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) 
C_  ( A  X.  A )  ->  (
( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) ) )
160156, 159ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) )
161 xpidtr 5248 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  X.  A )  o.  ( A  X.  A ) )  C_  ( A  X.  A
)
162160, 161sstri 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )  C_  ( A  X.  A
)
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( A  X.  A ) )
164155, 163ssind 3557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  -> 
( ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  o.  (
x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
165 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) ) )
166165, 165coeq12d 5029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
w  o.  w )  =  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
167166sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( x  i^i  ( A  X.  A
) )  ->  (
( w  o.  w
)  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) )  <->  ( (
x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
168167rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( ( x  i^i  ( A  X.  A ) )  o.  ( x  i^i  ( A  X.  A ) ) )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
169147, 164, 168syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  u  e.  U )  /\  x  e.  U )  /\  (
x  o.  x ) 
C_  u )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )
170 ustexhalf 18232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. x  e.  U  ( x  o.  x )  C_  u
)
171170adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. x  e.  U  ( x  o.  x )  C_  u
)
172169, 171r19.29a 2842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  u  e.  U )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
17394, 98, 95, 172syl21anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) )
174123sseq2d 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( (
w  o.  w ) 
C_  v  <->  ( w  o.  w )  C_  (
u  i^i  ( A  X.  A ) ) ) )
175174rexbidv 2718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v  <->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  ( u  i^i  ( A  X.  A
) ) ) )
176173, 175mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X
)  /\  A  C_  X
)  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  u  e.  U
)  /\  v  =  ( u  i^i  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  v )
177176, 61r19.29a 2842 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) ( w  o.  w )  C_  v )
178125, 142, 1773jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
)
17965, 93, 1783jca 1134 . . . 4  |-  ( ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  /\  v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  ->  ( A. w  e.  ~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) )
180179ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e.  ~P  ( A  X.  A
) ( v  C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  (
(  _I  |`  A ) 
C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w ) 
C_  v ) ) )
1812, 20, 1803jca 1134 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) )
182 isust 18225 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A )  <->  ( ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
18313, 182syl 16 . 2  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  (
( Ut  ( A  X.  A ) )  e.  (UnifOn `  A )  <->  ( ( Ut  ( A  X.  A ) )  C_  ~P ( A  X.  A
)  /\  ( A  X.  A )  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  A. v  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( A. w  e. 
~P  ( A  X.  A ) ( v 
C_  w  ->  w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) )  /\  A. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( v  i^i  w )  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) )  /\  ( (  _I  |`  A )  C_  v  /\  `' v  e.  ( Ut  ( A  X.  A
) )  /\  E. w  e.  ( Ut  ( A  X.  A ) ) ( w  o.  w
)  C_  v )
) ) ) )
184181, 183mpbird 224 1  |-  ( ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Ut  ( A  X.  A
) )  e.  (UnifOn `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    u. cun 3310    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204    _I cid 4485    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870    |` cres 4872    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  UnifOncust 18221
This theorem is referenced by:  restutop  18259  restutopopn  18260  ressust  18286  ressusp  18287  trcfilu  18316  cfiluweak  18317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
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