MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Unicode version

Theorem tskinf 8436
Description: A nonempty Tarski's class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 7492 . . . 4  |-  R1 : On
-1-1-> _V
2 omsson 4697 . . . 4  |-  om  C_  On
3 omex 7389 . . . . 5  |-  om  e.  _V
43f1imaen 6966 . . . 4  |-  ( ( R1 : On -1-1-> _V  /\ 
om  C_  On )  -> 
( R1 " om )  ~~  om )
51, 2, 4mp2an 653 . . 3  |-  ( R1
" om )  ~~  om
65ensymi 6954 . 2  |-  om  ~~  ( R1 " om )
7 simpl 443 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  T  e.  Tarski )
8 tskr1om 8434 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  C_  T )
9 ssdomg 6950 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( ( R1
" om )  C_  T  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
)
107, 8, 9sylc 56 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
11 endomtr 6962 . 2  |-  ( ( om  ~~  ( R1
" om )  /\  ( R1 " om )  ~<_  T )  ->  om  ~<_  T )
126, 10, 11sylancr 644 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701    =/= wne 2479   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   (/)c0 3489   class class class wbr 4060   Oncon0 4429   omcom 4693   "cima 4729   -1-1->wf1 5289    ~~ cen 6903    ~<_ cdom 6904   R1cr1 7479   Tarskictsk 8415
This theorem is referenced by:  tskpr  8437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-r1 7481  df-tsk 8416
  Copyright terms: Public domain W3C validator