MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Structured version   Unicode version

Theorem tskinf 8646
Description: A nonempty Tarski's class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 7703 . . . 4  |-  R1 : On
-1-1-> _V
2 omsson 4851 . . . 4  |-  om  C_  On
3 omex 7600 . . . . 5  |-  om  e.  _V
43f1imaen 7171 . . . 4  |-  ( ( R1 : On -1-1-> _V  /\ 
om  C_  On )  -> 
( R1 " om )  ~~  om )
51, 2, 4mp2an 655 . . 3  |-  ( R1
" om )  ~~  om
65ensymi 7159 . 2  |-  om  ~~  ( R1 " om )
7 simpl 445 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  T  e.  Tarski )
8 tskr1om 8644 . . 3  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  C_  T )
9 ssdomg 7155 . . 3  |-  ( T  e.  Tarski  ->  ( ( R1
" om )  C_  T  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
)
107, 8, 9sylc 59 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  ( R1 " om )  ~<_  T )
11 endomtr 7167 . 2  |-  ( ( om  ~~  ( R1
" om )  /\  ( R1 " om )  ~<_  T )  ->  om  ~<_  T )
126, 10, 11sylancr 646 1  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  T  =/=  (/) )  ->  om  ~<_  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4214   Oncon0 4583   omcom 4847   "cima 4883   -1-1->wf1 5453    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109   R1cr1 7690   Tarskictsk 8625
This theorem is referenced by:  tskpr  8647
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-r1 7692  df-tsk 8626
  Copyright terms: Public domain W3C validator