MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskint Unicode version

Theorem tskint 8594
Description: The intersection of an element of a transitive Tarski's class is an element of the class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
tskint  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  T )

Proof of Theorem tskint
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  A  =/=  (/) )  ->  T  e.  Tarski )
2 tskuni 8592 . . . 4  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  Tr  T  /\  A  e.  T
)  ->  U. A  e.  T )
323expa 1153 . . 3  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T )  ->  U. A  e.  T
)
433adant3 977 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  A  =/=  (/) )  ->  U. A  e.  T )
5 intssuni 4015 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  ->  |^| A  C_  U. A )
653ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  C_ 
U. A )
7 tskss 8567 . 2  |-  ( ( T  e.  Tarski  /\  U. A  e.  T  /\  |^| A  C_  U. A )  ->  |^| A  e.  T
)
81, 4, 6, 7syl3anc 1184 1  |-  ( ( ( T  e.  Tarski  /\ 
Tr  T )  /\  A  e.  T  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2551    C_ wss 3264   (/)c0 3572   U.cuni 3958   |^|cint 3993   Tr wtr 4244   Tarskictsk 8557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-ac2 8277
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-smo 6545  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-har 7460  df-r1 7624  df-card 7760  df-aleph 7761  df-cf 7762  df-acn 7763  df-ac 7931  df-wina 8493  df-ina 8494  df-tsk 8558
  Copyright terms: Public domain W3C validator